Problème — La France, de dix nombres à un seul

• Les onze points. On cumule :

$$0;0,035;0,088;0,151;0,224;0,307;0,400;0,504;0,623;0,763;1.$$

La suite est strictement croissante, donc la ligne brisée l'est aussi. Les pentes des dix segments valent $10p_k$, c'est-à-dire

$$0,35;0,53;0,63;0,73;0,83;0,93;1,04;1,19;1,40;2,37,$$

strictement croissantes : la ligne brisée est convexe. C'est bien une courbe de Lorenz. Au passage, ces dix nombres sont les revenus moyens de chaque décile en multiples de la moyenne.

• Trois lectures.

$$L(0,5)=0,307,1-L(0,9)=0,237,\frac{23,7}{3,5}\approx 6,8.$$

La moitié la plus modeste détient $30,7\%$ de la masse, le dernier décile $23,7\%$ à lui seul, et il pèse $6,8$ fois le premier.

• L'indice par trapèzes. La somme ${\sum }_{k=0}^9(L_k+L_{k+1})$ se calcule d'un coup : chaque $L_k$ intermédiaire y figure deux fois, $L_0=0$ et $L_{10}=1$ une seule fois. Donc

$$\sum _{k=0}^9(L_k+L_{k+1})=2(L_1+\cdots +L_9)+1=2\times 3,095+1=7,190,$$

et

$$G\approx 1-\frac{7,190}{10}=0,281.$$

• Cinq tranches. Les parts deviennent $8,8$ ; $13,6$ ; $17,6$ ; $22,3$ ; $37,7$, de cumuls $0,088$ ; $0,224$ ; $0,400$ ; $0,623$ ; $1$, d'où $G\approx 0,266$. Le sens de l'écart était prévisible : regrouper deux déciles en un quintile revient à remplacer deux segments par la corde qui joint leurs extrémités. La courbe étant convexe, elle est au-dessous de cette corde ; l'aire sous la ligne brisée augmente, donc $\mathcal{A}$ diminue, donc $G$ diminue.
• Les $0,013$ manquants. L'indice publié est calculé individu par individu, sans regroupement : il capte l'inégalité à l'intérieur de chaque décile. Notre calcul l'efface, en supposant implicitement que tous les membres d'un décile ont le même niveau de vie. L'écart est donc, très exactement, la mesure de cette inégalité interne — concentrée pour l'essentiel dans le dernier décile, où l'éventail est le plus large.
• Le modèle géométrique. Les rapports de deux parts consécutives, du plus riche au plus pauvre, valent

$$0,59;0,85;0,87;0,89;0,89;0,88;0,86;0,84;0,66.$$

Entre les rangs 2 et 8, ils sont remarquablement constants autour de $q=0,87$ : le modèle du chapitre 1 est excellent au milieu. Mais avec $q=0,87$, la formule $p_1=\frac{100(1-q)}{1-q^{10}}$ du chapitre 1 donne $p_1\approx 17,3\%$ pour le décile le plus riche, contre $23,7\%$ en réalité, et $4,9\%$ pour le plus pauvre contre $3,5\%$.

Le modèle à un paramètre décrit bien le corps de la distribution et manque ses deux extrémités — exactement là où se joue la question des inégalités. C'est pour décrire le sommet qu'il faut un second modèle : la loi de Pareto, ajustée sur le haut de la distribution.