mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 15 · Application directe du cours

Vingt salaires, et deux nombres pour les résumer

Thème 5 — Répartition des richesses, inégalités · niveau 1 (application)

Énoncé

Vingt salaires, et deux nombres pour les résumer.

Une entreprise de vingt salariés verse les salaires nets mensuels suivants, en euros, rangés par ordre croissant :

$1420, 1480, 1550, 1610, 1680, 1750, 1830, 1910, 2050, 2180, 2260, 2400, 2560, 2720, 2900, 3150, 3480, 3900, 4600, 6300.$

On utilise la convention des quantiles : $Q (α)$ est la plus petite valeur telle qu'au moins la proportion $α$ des salaires lui soit inférieure ou égale.

Déterminer $D_{1}$ , $Q_{1}$ , la médiane, $Q_{3}$ et $D_{9}$ , puis le rapport interdécile.
Calculer la part de la masse salariale détenue par les deux plus hauts salaires, puis par les deux plus bas.
L'entreprise augmente tous les salaires de $6 %$ . Que devient le rapport interdécile ? Et si elle accorde à la place $150$ euros à tous ?
Laquelle des deux augmentations réduit les inégalités ?

Corrigé

Quantiles. Ici $n = 20$ , donc $α n$ vaut $2$ pour $D_{1}$ , $5$ pour $Q_{1}$ , $10$ pour la médiane, $15$ pour $Q_{3}$ et $18$ pour $D_{9}$ :

$D_{1} = 1480, Q_{1} = 1680, m e ˊ diane = 2180, Q_{3} = 2900, D_{9} = 3900.$

Le rapport interdécile vaut $\frac{3900}{1480} \approx 2, 64$ .

Masses. Le total des salaires est $51730$ euros. Les deux plus hauts pèsent $4600 + 6300 = 10900$ , soit $\frac{10 900}{51 730} \approx 21, 1 %$ ; les deux plus bas $1420 + 1480 = 2900$ , soit $5, 6 %$ . Le rapport des masses vaut donc $\approx 3, 76$ , sensiblement plus que le rapport des seuils : les deux indicateurs ne mesurent pas la même chose.
Deux augmentations. Une hausse de $6 %$ multiplie tous les salaires par $1, 06$ :

$\frac{1 , 06 \times 3900}{1 , 06 \times 1480} = \frac{3900}{1480} \approx 2, 64.$

Le rapport est inchangé — il ne dépend pas de l'unité, ni d'aucun changement d'échelle. En revanche, avec $+ 150$ euros pour tous :

$\frac{3900 + 150}{1480 + 150} = \frac{4050}{1630} \approx 2, 48.$

Conclusion. Seule l'augmentation uniforme en euros resserre les écarts relatifs. L'augmentation en pourcentage laisse la structure des inégalités exactement identique : elle ne fait que changer l'unité de compte.

C'est la propriété centrale de tous les indicateurs d'inégalité que nous étudions : ils sont invariants d'échelle. Un pays deux fois plus riche, à répartition inchangée, a le même rapport interdécile et le même indice de Gini.

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