La contre-expertise

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 16 — Thème 6 — Inférence bayésienne

Énoncé

La contre-expertise.

On reprend un contrôle antidopage qui détecte $90 %$ des sportifs dopés et se révèle positif chez $1 %$ des sportifs non dopés, dans la population où la prévalence est de $1 %$ . Un sportif est contrôlé positif ; on procède à une contre-expertise, que l'on suppose indépendante du premier contrôle sachant l'état du sportif.

Calculer le rapport de vraisemblance d'un contrôle positif, puis d'un contrôle négatif.
Calculer la probabilité que le sportif soit dopé après deux contrôles positifs.
Et si la contre-expertise est négative ?
Discuter l'hypothèse d'indépendance.

Corrigé

Deux rapports de vraisemblance.

$R V_{+} = \frac{0 , 90}{0 , 01} = 90 et R V_{-} = \frac{0 , 10}{0 , 99} = \frac{10}{99} \approx 0, 101.$

Un positif multiplie la cote par $90$ , un négatif la divise par près de $10$ .

Deux positifs. La cote avant tout contrôle vaut $\frac{0 , 01}{0 , 99} = \frac{1}{99}$ , donc

$c = \frac{1}{99} \times 90 \times 90 = \frac{900}{11}, P = \frac{900/11}{1 + 900/11} = \frac{900}{911} \approx 98, 8 %.$

On est passé de $47, 6 %$ après un contrôle à $98, 8 %$ après deux.

Un positif, un négatif.

$c = \frac{1}{99} \times 90 \times \frac{10}{99} = \frac{100}{1 089}, P = \frac{100}{1 189} \approx 8, 4 %.$

Les deux résultats ne s'annulent pas : la cote finale, $\frac{100}{1 089}$ , est supérieure à la cote initiale $\frac{1}{99} = \frac{11}{1 089}$ . Il reste une trace du premier contrôle, mais la conviction est retombée très bas.

L'indépendance. Si la contre-expertise porte sur le même échantillon, analysé par la même méthode, les deux résultats ne sont pas indépendants : une contamination de l'échantillon ou un métabolite naturellement présent chez ce sportif produirait deux positifs. Le rapport de vraisemblance du second contrôle est alors bien inférieur à $90$ , et le $98, 8 %$ calculé est surestimé. C'est pourquoi les procédures exigent un second prélèvement, scellé séparément.

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