Le même test, deux populations — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 16)

Le même test, deux populations

Thème 6 — Inférence bayésienne · niveau 1 (application)

Énoncé

Le même test, deux populations.

Un contrôle antidopage détecte $90 %$ des sportifs dopés et se révèle positif chez $1 %$ des sportifs non dopés.

Une fédération contrôle au hasard l'ensemble de ses licenciés, chez qui la proportion de dopés est estimée à $1 %$ . Calculer la probabilité qu'un sportif contrôlé positif soit réellement dopé.
L'agence antidopage cible au contraire un groupe de sportifs signalés par un faisceau d'indices, chez qui la proportion de dopés atteint $10 %$ . Reprendre le calcul.
Comparer, et en tirer une recommandation sur l'organisation des contrôles.

Contrôles aveugles. Sur $10000$ licenciés : $100$ dopés, dont $90$ positifs ; $9900$ non dopés, dont $99$ positifs. Total : $189$ positifs.

$P_{T} (D) = \frac{90}{189} = \frac{10}{21} \approx 47, 6 %.$

Moins d'un contrôle positif sur deux correspond à un dopage.

Contrôles ciblés. Sur $10000$ sportifs du groupe : $1000$ dopés, dont $900$ positifs ; $9000$ non dopés, dont $90$ positifs. Total : $990$ positifs.

$P_{T} (D) = \frac{900}{990} = \frac{10}{11} \approx 90, 9 %.$

Comparaison. Le test n'a pas changé d'une question à l'autre : ses deux taux, $90 %$ et $1 %$ , sont les mêmes. Seule la prévalence est passée de $1 %$ à $10 %$ , et la valeur prédictive de $48 %$ à $91 %$ . Cibler les contrôles n'améliore pas le test : cela améliore ce que vaut son résultat. C'est la même leçon que pour le dépistage — un test doit être appliqué là où la prévalence le justifie.