Problème — Faut-il dépister toute la population ?

• Les quatre cas à $p=1\%$. $100$ malades, dont $90$ positifs ; $9900$ non malades, dont $198$ positifs.

$$\begin{array}{lccc}& \text{test }+& \text{test }-& \text{total}\\ \text{malade}& 90& 10& 100\\ \text{non malade}& 198& 9702& 9900\\ \text{total}& 288& 9712& 10000\end{array}$$

D'où $P(T)=\frac{288}{10000}=0,0288$, puis

$$P_T(M)=\frac{90}{288}=\frac{5}{16}=31,25\%,P_{\overline{T}}(\overline{M})=\frac{9702}{9712}=\frac{4851}{4856}\approx 99,90\%.$$

Un négatif est très rassurant ; un positif l'est beaucoup moins.

• La valeur prédictive en fonction de $p$. La formule de Bayes donne

$$f(p)=\frac{0,90p}{0,90p+0,02(1-p)}=\frac{90p}{90p+2-2p}=\frac{90p}{88p+2}=\frac{45p}{44p+1},$$

après multiplication du numérateur et du dénominateur par $100$, puis division par $2$. On vérifie : $f(0,01)=\frac{0,45}{1,44}=\frac{5}{16}$.

• Variations et convexité. Dérivée d'un quotient :

$$f^{\prime }(p)=\frac{45(44p+1)-45p\times 44}{(44p+1{)}^2}=\frac{45}{(44p+1{)}^2}>0,$$

donc $f$ est strictement croissante de $f(0)=0$ à $f(1)=1$.

$$\begin{array}{cccc}p& 0& & 1\\ f^{\prime }(p)& & +& \\ f& 0& \nearrow & 1\end{array}$$

Pour la convexité, $f^{\prime }$ est de la forme $45w^{-2}$ avec $w(p)=44p+1$ :

$$f^{\prime \prime }(p)=-\frac{3960}{(44p+1{)}^3}<0\text{sur }[0;1],$$

donc $f$ est concave : sa courbe est au-dessous de ses tangentes (chapitre 5), et le gain de valeur prédictive obtenu en augmentant la prévalence est de plus en plus faible.

Enfin $f^{\prime }(0)=45$ : c'est le rapport de vraisemblance $\frac{0,90}{0,02}$ du test. Pour de très petites prévalences, $f(p)$ est donc voisin de $45p$ : la valeur prédictive est proportionnelle à la prévalence, avec pour coefficient le rapport de vraisemblance. Diviser la prévalence par dix divise alors la valeur prédictive par dix.

• Deux seuils. Comme $44p+1>0$,

$$f(p)\ge \frac{1}{2}⟺90p\ge 44p+1⟺p\ge \frac{1}{46}\approx 2,17\%,$$

$$f(p)\ge \frac{9}{10}⟺450p\ge 9(44p+1)=396p+9⟺54p\ge 9⟺p\ge \frac{1}{6}\approx 16,7\%.$$

• Deux tests positifs. En cote, le rapport de vraisemblance d'un positif vaut $45$ et s'applique deux fois :

$$c=\frac{0,01}{0,99}\times 45\times 45=\frac{2025}{99}=\frac{225}{11},P=\frac{225/11}{1+225/11}=\frac{225}{236}\approx 95,3\%.$$

Une autre lecture, plus parlante : après le premier test, la population des positifs a une prévalence de $\frac{5}{16}=31,25\%$, bien au-dessus du seuil $\frac{1}{6}$ de la question 4. Le second test est appliqué là où il est efficace.

• Recommandation. Le test est bon, mais un dépistage systématique à $1\%$ de prévalence produirait, sur un million de personnes, $9000$ vrais positifs et $19800$ faux positifs : plus des deux tiers des personnes rappelées seraient inutilement inquiétées et examinées. Trois conclusions :

• ne pas dépister au hasard, mais cibler une population où la prévalence dépasse $\frac{1}{46}$, seuil au-delà duquel un positif est « plutôt malade » ;
• ne jamais annoncer un dépistage positif comme un diagnostic : il doit être suivi d'un examen de confirmation, qui porte alors la conviction à $95\%$ ;
• privilégier, à sensibilité égale, le test le plus spécifique : ce sont les faux positifs, prélevés sur les $99\%$ de personnes saines, qui font tout le mal.

Le chapitre 8 avait établi ce constat sur un exemple ; l'étude de $f$ en donne la raison et le seuil.