Problème — Où chercher le canot ?

Notons $Z_1$, $Z_2$, $Z_3$ les trois positions possibles ; elles sont incompatibles et recouvrent tous les cas, ce qui autorise la formule des probabilités totales à trois causes.

• Le premier survol. La probabilité de trouver le canot en survolant la zone $i$ est $P(Z_i)\times (\text{probabiliteˊ de deˊtection})$, soit $0,5\times 0,6=0,30$ pour la zone 1, $0,3\times 0,5=0,15$ pour la zone 2 et $0,2\times 0,6=0,12$ pour la zone 3. On survole donc la zone 1, avec $30\%$ de chances de succès.
• Premier échec. L'échec, noté $E_1$, est un indice. Il est certain si le canot n'est pas en zone 1, et de probabilité $1-0,6=0,4$ s'il y est :

$$P(E_1)=0,5\times 0,4+0,3\times 1+0,2\times 1=0,20+0,30+0,20=0,70.$$

En divisant chaque chemin par ce total :

$$P_{E_1}(Z_1)=\frac{0,20}{0,70}=\frac{2}{7}\approx 0,286,P_{E_1}(Z_2)=\frac{0,30}{0,70}=\frac{3}{7}\approx 0,429,P_{E_1}(Z_3)=\frac{0,20}{0,70}=\frac{2}{7}\approx 0,286.$$

La somme fait bien $1$. L'échec en zone 1 a fait monter les zones 2 et 3, qu'on n'a pourtant pas visitées : c'est le trait le plus contre-intuitif de l'inférence bayésienne. La zone 2 passe en tête, on la survole ensuite.

• Deuxième échec. La détection en zone 2 vaut $0,5$ :

$$P(E_2)=\frac{2}{7}\times 1+\frac{3}{7}\times 0,5+\frac{2}{7}\times 1=\frac{2}{7}+\frac{3}{14}+\frac{2}{7}=\frac{11}{14},$$

d'où

$$P(Z_1)=\frac{2/7}{11/14}=\frac{4}{11},P(Z_2)=\frac{3/14}{11/14}=\frac{3}{11},P(Z_3)=\frac{2/7}{11/14}=\frac{4}{11}.$$

Les zones 1 et 3 sont désormais à égalité en tête, et la zone 2 — qui était la plus probable au coup précédent — est passée dernière. Comme la détection est meilleure en zone 1 et 3 ($0,6$) qu'en zone 2, on retourne en zone 1 (ou en zone 3, indifféremment).

• Troisième échec, en zone 1.

$$P(E_3)=\frac{4}{11}\times 0,4+\frac{3}{11}+\frac{4}{11}=\frac{1,6+3+4}{11}=\frac{8,6}{11}=\frac{43}{55},$$

et

$$P(Z_1)=\frac{1,6}{8,6}=\frac{8}{43}\approx 0,186,P(Z_2)=\frac{3}{8,6}=\frac{15}{43}\approx 0,349,P(Z_3)=\frac{4}{8,6}=\frac{20}{43}\approx 0,465.$$

Les trois numérateurs $8$, $15$ et $20$ s'additionnent à $43$ : le contrôle est bon. La zone 3, la moins probable au départ, est maintenant la plus probable — uniquement parce qu'elle est la moins explorée.

• En Python.

def apres_echec(proba, zone, detection):
    # Actualise la liste des probabilites apres une recherche infructueuse.
    vraisemblance = [1.0] * len(proba)
    vraisemblance[zone] = 1 - detection
    poids = [p * v for p, v in zip(proba, vraisemblance)]
    total = sum(poids)
    return [w / total for w in poids]

p = [0.5, 0.3, 0.2]
p = apres_echec(p, 0, 0.6);  print([round(x, 4) for x in p])
p = apres_echec(p, 1, 0.5);  print([round(x, 4) for x in p])
p = apres_echec(p, 0, 0.6);  print([round(x, 4) for x in p])
# [0.2857, 0.4286, 0.2857]
# [0.3636, 0.2727, 0.3636]
# [0.186, 0.3488, 0.4651]

• Trois échecs. Chaque probabilité calculée était conditionnelle aux échecs précédents, donc elles se multiplient :

$$P(E_1\cap E_2\cap E_3)=\frac{7}{10}\times \frac{11}{14}\times \frac{43}{55}=\frac{43}{100}=0,43.$$

Il y a donc $57\%$ de chances que le canot ait été retrouvé au cours des trois premiers survols.

Une recherche bien conduite n'est pas une suite de coups indépendants : chaque échec est une information, et c'est elle qui désigne le survol suivant.