Problème — Régler un filtre de courriels

• Cote initiale et terme général. Sans aucun indice, $2000$ courriels indésirables pour $8000$ légitimes :

$$p_0=0,20,c_0=\frac{0,20}{0,80}=\frac{1}{4}.$$

Chaque indice multiplie la cote par $3$, donc $(c_n)$ est géométrique de raison $3$ (chapitre 1) :

$$c_n=\frac{3^n}{4},p_n=\frac{c_n}{1+c_n}=\frac{3^n/4}{1+3^n/4}=\frac{3^n}{3^n+4}.$$

• Les premiers termes.

$$p_1=\frac{3}{7}\approx 0,429,p_2=\frac{9}{13}\approx 0,692,p_3=\frac{27}{31}\approx 0,871,p_4=\frac{81}{85}\approx 0,953.$$

Les écarts successifs valent environ $0,229$, $0,264$, $0,179$, $0,082$ : ils augmentent puis s'effondrent. Chaque indice apporte pourtant la même information — un facteur $3$ ; c'est la probabilité qui, bornée par $1$, ne peut plus progresser.

• La log-cote. L'équation fonctionnelle du logarithme (chapitre 3) donne

$$\ln c_n=\ln \left(\frac{3^n}{4}\right)=n\ln 3-\ln 4,$$

donc $\ln c_{n+1}-\ln c_n=\ln 3$ : la suite $(\ln c_n)$ est arithmétique de raison $\ln 3\approx 1,0986$, de premier terme $-\ln 4\approx -1,386$. Sur ce tableau de bord, les indices s'additionnent au lieu de se multiplier.

• Le seuil. Puisque $p\mapsto \frac{p}{1-p}$ est croissante,

$$p_n\ge 0,99⟺c_n\ge \frac{0,99}{0,01}=99⟺\frac{3^n}{4}\ge 99⟺3^n\ge 396.$$

Le logarithme étant strictement croissant,

$$n\ln 3\ge \ln 396⟺n\ge \frac{\ln 396}{\ln 3}\approx 5,44,$$

donc $n=6$. On vérifie : $p_5=\frac{243}{247}\approx 0,9838<0,99$ et $p_6=\frac{729}{733}\approx 0,9945\ge 0,99$. Il faut six indices.

def nombre_indices(cote_initiale, rapport, seuil):
    # Plus petit n tel que la probabilite depasse le seuil.
    cote, n = cote_initiale, 0
    while cote / (1 + cote) < seuil:
        cote = cote * rapport
        n = n + 1
    return n

print(nombre_indices(1/4, 3, 0.99))   # 6

• Les blocages à tort. Chacun des $8000$ courriels légitimes donne une épreuve à deux issues — bloqué ou non — de probabilité $0,001$, et on les suppose indépendantes. Donc $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(8000;0,001)$ (chapitre 8) et

$$E(Y)=8000\times 0,001=8,\sigma (Y)=\sqrt{8000\times 0,001\times 0,999}=\sqrt{7,992}\approx 2,83,$$

$$P(Y=0)=0,999^{8000}\approx 3,3\times 10^{-4}.$$

Il est donc quasi certain qu'au moins un courriel légitime sera bloqué chaque mois, et l'ordre de grandeur est de huit, à trois près.

• Ce que vaut un blocage. Chaque mois, le filtre bloque $2000\times 0,55=1100$ courriels indésirables et $8$ courriels légitimes, soit $1108$ blocages :

$$P_{\text{bloqueˊ}}(\text{indeˊsirable})=\frac{1100}{1108}=\frac{275}{277}\approx 99,3\%.$$

(On retrouve ce nombre par les cotes : le blocage a pour rapport de vraisemblance $\frac{0,55}{0,001}=550$, d'où une cote de $\frac{1}{4}\times 550=137,5$ et une probabilité de $\frac{137,5}{138,5}=\frac{275}{277}$.)

Conclusion. Le réglage tient sa promesse sur la précision — moins d'un blocage sur cent est une erreur — mais il laisse passer $45\%$ des courriels indésirables. Exiger six indices, c'est choisir de préférer un indésirable oublié à un message important perdu. C'est un arbitrage, non un optimum mathématique : abaisser le seuil à quatre indices bloquerait davantage de courriels indésirables et davantage de messages légitimes. Le bon réglage dépend du coût relatif des deux erreurs, que les mathématiques ne fixent pas.