Repérer un renversement

• Le renversement. Le nombre calculé par l'expert est $P_{\text{innocente}}(\text{deux deˊceˋs})$ : la probabilité de l'observation si la mère est innocente. Le tribunal doit statuer sur $P_{\text{deux deˊceˋs}}(\text{coupable})$ : la probabilité de culpabilité sachant l'observation. Ce sont deux quotients de dénominateurs différents.
• La seconde faiblesse. Le passage de $\frac{1}{8500}$ à $\frac{1}{8500^2}$ suppose les deux décès indépendants. Ils ne le sont pas : un facteur génétique ou un facteur d'environnement partagé rend le second décès bien plus probable après le premier. C'est exactement le piège d'indépendance conditionnelle signalé plus haut, ici commis dans le sens le plus défavorable à l'accusée.
• Le calcul correct, en fréquences naturelles. Un double décès a deux explications possibles, et il faut les comparer. Sur $100$ millions de familles :

$$100000000\times \frac{1}{10000000}=10\text{doubles deˊceˋs naturels,}$$

$$100000000\times \frac{1}{20000000}=5\text{doubles infanticides.}$$

Il y a donc $15$ familles ayant perdu deux enfants, dont $5$ sont coupables :

$$P_{\text{deux deˊceˋs}}(\text{coupable})=\frac{5}{15}=\frac{1}{3}.$$

• Conclusion. On passe d'une « quasi-certitude » annoncée à une probabilité de l'ordre de $\frac{1}{3}$ — très loin de ce qu'exige une condamnation. Une probabilité minuscule n'accuse personne tant qu'on ne l'a pas comparée à la probabilité, elle aussi minuscule, de l'hypothèse concurrente. C'est le rapport des deux qui compte, jamais l'une des deux prise isolément.