Ce dé est-il pipé ? — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 17)

Ce dé est-il pipé ?

Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage · niveau 2

Énoncé

Ce dé est-il pipé ?

On soupçonne un dé d'être pipé en faveur du $6$ . On le lance $300$ fois, de façon indépendante, et l'on obtient $68$ fois la face $6$ .

Sous l'hypothèse d'un dé équilibré, donner la loi de $X$ , le nombre de $6$ , puis $E (F)$ et $σ (F)$ .
Le programme donne $I = [38; 63]$ avec $P (X \in I) \approx 0, 956$ . Traduire en fréquences.
Conclure au risque $5 %$ .
Le calcul donne $P (X \geq 68) \approx 0, 0044$ . Que change cette information ?
Avec $60$ lancers seulement et la même fréquence observée, aurait-on conclu de même ? On donne, pour $B (60; \frac{1}{6})$ , $I = [5; 16]$ .

Corrigé

L'hypothèse. Un dé équilibré donne $p_{0} = \frac{1}{6}$ à chaque lancer, et les lancers sont indépendants : $X \sim B (300; \frac{1}{6})$ . Donc

$E (F) = \frac{1}{6} \approx 0, 1667, σ (F) = \frac{\frac{1}{6} \times \frac{5}{6}}{300} \approx 0, 0215.$

En fréquences. $[\frac{38}{300}; \frac{63}{300}] \approx [0, 127; 0, 210]$ .
Décision. La fréquence observée vaut $\frac{68}{300} \approx 0, 227$ , qui n'appartient pas à $[0, 127; 0, 210]$ . Sous l'hypothèse du dé équilibré, un tel résultat survient avec une probabilité inférieure à $0, 05$ . On rejette donc l'hypothèse au risque $5 %$ : le dé est déclaré pipé.
Un risque bien plus faible. La probabilité d'obtenir au moins $68$ fois la face $6$ avec un dé équilibré vaut $0, 0044$ , soit une chance sur $226$ . La conclusion n'est pas seulement acceptable au seuil de $5 %$ : elle le serait encore au seuil de $1 %$ . Le résultat est donc bien plus tranchant que ne le laissait croire la simple appartenance à $I$ ou non.
Avec cinq fois moins de lancers. La même fréquence donnerait $X = 60 \times \frac{68}{300} = 13, 6$ , soit $13$ ou $14$ succès — et ces deux valeurs appartiennent à $I = [5; 16]$ . On n'aurait donc pas pu conclure. C'est la décroissance en $\frac{1}{n}$ : diviser le nombre de lancers par cinq multiplie la demi-largeur par $5 \approx 2, 24$ , et la fourchette des résultats ordinaires devient assez large pour absorber l'anomalie.

Un même écart de fréquence est concluant ou non selon la taille de l'échantillon : ce n'est pas l'écart qui décide, c'est l'écart rapporté à la fluctuation.