Problème — Dimensionner un contrôle de réception

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 17 — Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage

Énoncé

Problème — Dimensionner un contrôle de réception.

Un laboratoire réceptionne des lots de $50000$ doses de vaccin. Sur chaque lot, on prélève $n$ doses au hasard et l'on compte le nombre $X$ de doses non conformes ; on refuse le lot si $X \geq s$ . Deux exigences sont imposées par le contrat :

un lot bon, à $p_{0} = 2 %$ de non conformes, ne doit être refusé que dans au plus $5 %$ des cas (risque du fournisseur) ;
un lot mauvais, à $p_{1} = 6 %$ , ne doit être accepté que dans au plus $10 %$ des cas (risque du client).

Justifier que $X$ suit une loi binomiale, et écrire les deux contraintes.
Le contrôle actuel est $n = 150$ , $s = 7$ . On donne, sous $p_{0}$ , $P (X \geq 7) \approx 0, 032$ et, sous $p_{1}$ , $P (X \leq 6) \approx 0, 198$ . Le contrat est-il respecté ?
On garde le principe et l'on augmente $n$ . Le programme donne le tableau ci-dessous. Déterminer le plus petit effectif convenable.
Pourquoi $α$ ne varie-t-il pas de façon monotone quand $n$ augmente ?
En pratique, le laboratoire retient $n = 200$ et $s = 8$ , pour lesquels $α \approx 0, 049$ et $β \approx 0, 083$ . Justifier ce choix.
Un ingénieur propose de garder $n = 150$ et d'abaisser le seuil à $s = 6$ pour mieux protéger le client. On donne alors, sous $p_{0}$ , $P (X \geq 6) \approx 0, 082$ . Qu'en penser ?

$n 150165170190194200250 s 77888810 α = P (X \geq s ∣ p_{0}) 0, 0320 0, 0492 0, 0218 0, 0385 0, 0426 0, 0493 0, 0304 β = P (X < s ∣ p_{1}) 0, 1984 0, 1288 0, 1944 0, 1117 0, 0993 0, 0829 0, 0640$

Corrigé

Le modèle et les contraintes. Le lot compte $50000$ doses, très grand devant $n$ : le prélèvement sans remise est assimilable à $n$ épreuves indépendantes de même paramètre $p$ , chacune à deux issues (conforme / non conforme). Donc $X \sim B (n, p)$ , et les deux exigences s'écrivent

$α = P (X \geq s) \leq 0, 05 sous p_{0} = 0, 02, β = P (X \leq s - 1) \leq 0, 10 sous p_{1} = 0, 06.$

Le contrôle actuel. Sous $p_{0}$ , $α \approx 0, 032 \leq 0, 05$ : la première exigence est tenue. Sous $p_{1}$ , $β \approx 0, 198$ , très au-dessus de $0, 10$ : la seconde ne l'est pas. Un lot à $6 %$ passerait le contrôle une fois sur cinq. Le contrat n'est pas respecté, et c'est le client qui en fait les frais.
Le plus petit effectif convenable. On lit le tableau ligne à ligne en exigeant les deux conditions. Pour $n = 190$ , $β \approx 0, 112$ dépasse encore $0, 10$ . Pour $n = 194$ , $α \approx 0, 043 \leq 0, 05$ et $β \approx 0, 099 \leq 0, 10$ : les deux exigences sont satisfaites. Le plus petit effectif convenable est donc

$n = 194, s = 8.$

Une variation en dents de scie. Parce que $s$ est un entier. Quand $n$ augmente, la loi se décale vers la droite et $α$ monte doucement à seuil constant — de $0, 032$ pour $n = 150$ à $0, 049$ pour $n = 165$ , avec $s = 7$ dans les deux cas. Puis $α$ franchirait $0, 05$ : le seuil saute alors à $s = 8$ , et $α$ retombe d'un coup à $0, 022$ pour $n = 170$ . Le risque réel est donc toujours inférieur au risque annoncé, et il oscille en dessous au lieu de s'en approcher régulièrement.
Le choix pratique. Le tableau montre qu'à $n = 200$ le contrat est tenu avec un peu de marge sur le second risque ( $0, 083$ contre $0, 10$ ), au prix d'un premier risque proche de la limite ( $0, 049$ contre $0, 05$ ). Passer de $194$ à $200$ ne coûte que six doses de plus par contrôle et donne un nombre rond, tout en gagnant $1, 6$ point sur le risque du client. C'est une décision de bon sens industriel : le mathématiquement minimal n'est pas le pratiquement raisonnable.
La proposition de l'ingénieur. Elle protège effectivement mieux le client, mais elle porte $α$ à $0, 082$ , au-delà des $5 %$ contractuels : un fournisseur irréprochable verrait un lot sur douze refusé. Elle viole donc l'autre exigence. C'est la leçon de la section 5 : à $n$ fixé, le seuil ne fait que répartir le risque entre les deux parties. Pour les baisser tous les deux, il faut payer — en doses prélevées.

Un plan de contrôle n'est pas un calcul de probabilité isolé : c'est un contrat à trois paramètres, $n$ , $s$ et les deux risques, dont on ne peut fixer librement que deux.

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