Problème — Les deux instituts, et le référendum

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 17 — Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage

Énoncé

Problème — Les deux instituts, et le référendum.

Reprenons la question du début. Deux instituts publient, la même semaine, sur la même réforme soumise à référendum : institut A, $51 %$ de soutien sur $1000$ personnes ; institut B, $48 %$ sur $1000$ personnes. On note $p$ la proportion vraie de partisans dans le corps électoral.

On teste l'hypothèse $p = 0, 50$ . Donner $E (F)$ et $σ (F)$ , puis l'intervalle de fluctuation au seuil $5 %$ : le programme renvoie $I = [469; 531]$ avec $P (X \in I) \approx 0, 954$ .
Chacun des deux résultats contredit-il l'hypothèse $p = 0, 50$ ?
Un écart de trois points entre deux instituts est-il surprenant ? On simule $20000$ paires de sondages indépendants de $1000$ personnes dans une population où $p = 0, 50$ ; le programme ci-dessous en donne la distribution.
Combien de personnes faudrait-il interroger pour départager $49 %$ et $51 %$ ?
Que faut-il conclure, et que faudrait-il écrire dans le journal ?

Corrigé

Sous l'hypothèse. $X \sim B (1000; 0, 50)$ et

$E (F) = 0, 50, σ (F) = \frac{0 , 50 \times 0 , 50}{1 000} \approx 0, 0158.$

En fréquences, $I$ devient $[\frac{469}{1 000}; \frac{531}{1 000}] = [0, 469; 0, 531]$ , de demi-largeur $0, 031$ — très proche de la marge garantie $\frac{1}{1 000} \approx 0, 0316$ .

Deux résultats ordinaires. $0, 51 \in [0, 469; 0, 531]$ et $0, 48 \in [0, 469; 0, 531]$ . Aucun des deux ne contredit l'hypothèse $p = 0, 50$ : chacun est parfaitement compatible avec un corps électoral exactement partagé en deux.
L'écart entre les deux. On simule directement la quantité qui intéresse, l'écart absolu entre deux sondages menés dans la même population.


def ecarts(n, p, M):
    # M paires de sondages independants : la liste des M ecarts absolus.
    return [abs(echantillon(n, p) - echantillon(n, p)) for _ in range(M)]

seed(2029)
d = ecarts(1000, 0.50, 20000)
print(round(sum(d) / len(d), 4))
for seuil in [0.01, 0.02, 0.03, 0.04, 0.05]:
    print(seuil, sum(1 for e in d if e >= seuil - 1e-9) / len(d))
print(round(max(d), 4))


0.0178
0.01 0.6679
0.02 0.3821
0.03 0.18415
0.04 0.0769
0.05 0.02665
0.091

L'écart moyen entre deux instituts honnêtes est de $1, 8$ point. Un écart d'au moins trois points survient dans $18, 4 %$ des cas — presque une fois sur cinq. Et sur ces vingt mille paires, la plus discordante affichait $9, 1$ points d'écart, sans qu'aucune opinion n'ait bougé, puisque $p$ était fixé à $0, 50$ pendant toute la simulation.

Départager deux points. Distinguer $0, 49$ de $0, 51$ suppose une marge inférieure à un point :

$\frac{1}{n} \leq 0, 01 ⟺ n \geq \frac{1}{0 , 0001} = 10 000.$

Il faudrait dix mille entretiens — dix fois l'effectif habituel — et encore ne s'agirait-il que de la seule fluctuation d'échantillonnage, les biais restant entiers.

Conclusion. Les deux sondages ne se contredisent pas ; ils disent la même chose, à savoir que la proportion de partisans est voisine de la moitié sans qu'on puisse dire de quel côté. Le titre correct n'est pas « retournement de l'opinion » mais « les deux enquêtes sont compatibles avec un corps électoral partagé ; à ce niveau d'effectif, aucune ne permet de dire si la réforme est majoritaire ».

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.