Un lot de semences, et les deux risques

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 17 — Thème 7 — Répétition d'expériences indépendantes, échantillonnage

Énoncé

Un lot de semences, et les deux risques.

Un semencier garantit un taux de germination d'au moins $90 %$ . Un laboratoire met $250$ graines en germination, de façon indépendante, et en voit lever $214$ .

Sous l'hypothèse $p_{0} = 0, 90$ , donner $E (X)$ , $σ (X)$ et $σ (F)$ .
Seul un taux trop faible est reproché au semencier. On donne $P (X \leq 214) \approx 0, 0169$ et $P (X \leq 215) \approx 0, 0267$ . Déterminer la règle de décision au risque $α \leq 0, 025$ , puis conclure.
L'intervalle de fluctuation bilatéral est $I = [215; 234]$ . La conclusion est-elle la même ? Commenter la marge.
On donne, pour $p_{1} = 0, 85$ , $P (X \leq 214) \approx 0, 632$ . Que vaut le risque de ne pas détecter un lot réellement à $85 %$ ?
Que faire pour améliorer ce second risque ?

Corrigé

Sous l'hypothèse. $X \sim B (250; 0, 90)$ , donc

$E (X) = 225, σ (X) = 250 \times 0, 90 \times 0, 10 = 22, 5 \approx 4, 74, σ (F) = \frac{4 , 74}{250} \approx 0, 019.$

Règle unilatérale. On cherche le plus grand seuil $t$ tel que $P (X \leq t) \leq 0, 025$ . Comme $P (X \leq 214) \approx 0, 0169 \leq 0, 025$ et $P (X \leq 215) \approx 0, 0267 > 0, 025$ , on prend $t = 214$ : on conteste la garantie dès que $X \leq 214$ . L'observation vaut exactement $214$ : on conteste la garantie, avec un risque de se tromper de $1, 7 %$ .
Par l'intervalle bilatéral. $214 \in / [215; 234]$ : même conclusion. Mais la marge est mince — un seul succès de plus, $215$ , et l'on ne concluait plus rien. Une décision aussi serrée mérite d'être signalée comme telle plutôt que présentée comme un verdict : la fréquence observée $0, 856$ et la borne $0, 860$ ne diffèrent que de quatre millièmes.
Le second risque. Si le lot est réellement à $85 %$ , la règle conteste la garantie lorsque $X \leq 214$ , ce qui arrive avec la probabilité $0, 632$ . Le risque de ne pas détecter le défaut vaut donc

$β = 1 - 0, 632 = 0, 368,$

soit plus d'une fois sur trois.

Améliorer. On ne peut pas baisser $β$ en déplaçant le seuil sans faire monter $α$ : les deux risques se disputent le même curseur. Le seul moyen de les réduire ensemble est d'augmenter $n$ , ce qui écarte les deux lois l'une de l'autre — l'écart des espérances croît comme $n$ ( $250 \times 0, 05 = 12, 5$ graines ici), tandis que les écarts types ne croissent que comme $n$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.