Deux horaires, une même fréquence — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 18)

Deux horaires, une même fréquence

Thème 8 — Temps d'attente · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Deux horaires, une même fréquence.

Deux lignes de bus annoncent « un bus toutes les $10$ minutes en moyenne ». Sur la ligne A, les intervalles valent alternativement $4$ et $16$ minutes ; sur la ligne B, $2$ et $18$ minutes.

Vérifier que $E (L) = 10$ dans les deux cas, et calculer $V (L)$ .
Pour la ligne A, calculer directement l'attente moyenne d'un usager arrivant à un instant quelconque.
Retrouver ce résultat avec la formule $E (attente) = \frac{E ( L )}{2} + \frac{V ( L )}{2 E ( L )}$ , puis traiter la ligne B.
Quelle ligne choisir, et pourquoi ce choix ne se lit pas sur la fréquence ?

Corrigé

Moyennes et variances. $L$ prend deux valeurs avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacune.

$Ligne A : E (L) = \frac{4 + 16}{2} = 10, E (L^{2}) = \frac{16 + 256}{2} = 136, V (L) = 136 - 100 = 36.$

$Ligne B : E (L) = \frac{2 + 18}{2} = 10, E (L^{2}) = \frac{4 + 324}{2} = 164, V (L) = 164 - 100 = 64.$

Calcul direct sur la ligne A. Sur un cycle de $20$ minutes, l'usager tombe dans l'intervalle court avec la probabilité $\frac{4}{20} = 0, 2$ et dans le long avec la probabilité $\frac{16}{20} = 0, 8$ . Son attente est alors uniforme sur $[0; 4]$ ou sur $[0; 16]$ , d'espérance $2$ ou $8$ :

$E (attente) = 0, 2 \times 2 + 0, 8 \times 8 = 0, 4 + 6, 4 = 6, 8 min.$

Par la formule.

$Ligne A : \frac{10}{2} + \frac{36}{20} = 5 + 1, 8 = 6, 8, Ligne B : \frac{10}{2} + \frac{64}{20} = 5 + 3, 2 = 8, 2.$

Les deux méthodes concordent sur la ligne A.

Le choix. La ligne A, dont l'attente moyenne est inférieure de $1, 4$ minute. Les deux lignes ont pourtant exactement la même fréquence : six bus par heure. Ce qui les sépare est leur irrégularité, mesurée par $V (L)$ , et aucune information de fréquence ne la contient.

Une ligne parfaitement régulière donnerait $5$ minutes. Tout ce qui dépasse $5$ est le prix payé pour l'irrégularité — et il double quand on passe de $4/16$ à $2/18$ .