Deux horaires, une même fréquence

• Moyennes et variances. $L$ prend deux valeurs avec la probabilité $\frac{1}{2}$ chacune.

$$\text{Ligne A : }E(L)=\frac{4+16}{2}=10,E(L^2)=\frac{16+256}{2}=136,V(L)=136-100=36.$$

$$\text{Ligne B : }E(L)=\frac{2+18}{2}=10,E(L^2)=\frac{4+324}{2}=164,V(L)=164-100=64.$$

• Calcul direct sur la ligne A. Sur un cycle de $20$ minutes, l'usager tombe dans l'intervalle court avec la probabilité $\frac{4}{20}=0,2$ et dans le long avec la probabilité $\frac{16}{20}=0,8$. Son attente est alors uniforme sur $[0;4]$ ou sur $[0;16]$, d'espérance $2$ ou $8$ :

$$E(\text{attente})=0,2\times 2+0,8\times 8=0,4+6,4=6,8\text{ min.}$$

• Par la formule.

$$\text{Ligne A : }\frac{10}{2}+\frac{36}{20}=5+1,8=6,8,\text{Ligne B : }\frac{10}{2}+\frac{64}{20}=5+3,2=8,2.$$

Les deux méthodes concordent sur la ligne A.

• Le choix. La ligne A, dont l'attente moyenne est inférieure de $1,4$ minute. Les deux lignes ont pourtant exactement la même fréquence : six bus par heure. Ce qui les sépare est leur irrégularité, mesurée par $V(L)$, et aucune information de fréquence ne la contient.

Une ligne parfaitement régulière donnerait $5$ minutes. Tout ce qui dépasse $5$ est le prix payé pour l'irrégularité — et il double quand on passe de $4/16$ à $2/18$.