Deux pièces de même durée de vie moyenne

• Survie. Pour la pièce A, le taux étant constant, la loi est géométrique de paramètre $0,10$ :

$$P(X>5)=0,9^5\approx 0,590,P(X>10)=0,9^{10}\approx 0,349.$$

Pour la pièce B, on multiplie les $(1-p_n)$ :

$$P(X>5)=0,985\times 0,970\times 0,955\times 0,940\times 0,925\approx 0,793,$$

et de même $P(X>10)\approx 0,418$.

• Conditionnellement à cinq ans de service. L'événement $(X>10)$ est inclus dans $(X>5)$, donc

$$P_{(X>5)}(X>10)=\frac{P(X>10)}{P(X>5)}.$$

Pour A : $\frac{0,349}{0,590}=0,9^5\approx 0,590$, donc une probabilité de panne de $1-0,590\approx 0,410$. Pour B : $\frac{0,418}{0,793}\approx 0,527$, donc une probabilité de panne de $\approx 0,473$.

• Comparaison avec le neuf. Une pièce A neuve tombe en panne dans les cinq ans avec la probabilité $1-0,9^5\approx 0,410$ : exactement la même. Une pièce B neuve, elle, avec la probabilité $1-0,793\approx 0,207$ : deux fois moins. La pièce A ne vieillit pas — c'est l'absence de mémoire, visible sur un quotient de puissances de même base. La pièce B vieillit : son risque a plus que doublé en cinq ans.
• Entretien. Seule la pièce B. Pour la pièce A, une visite à cinq ans ne peut rien apprendre que l'on ne sache déjà, et remplacer la pièce reviendrait à échanger un objet contre un autre exactement aussi fiable.

Deux pièces, la même moyenne, et deux politiques d'entretien opposées : la moyenne n'était pas la bonne question.