Estimer λ sur des données — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 18)

Estimer $λ$ sur des données.

Un atelier met en service $200$ machines identiques et relève, à six dates, le nombre de machines n'ayant encore subi aucune panne.

$t_{i} (jours) machines intactes 51701013815110209425743061$

Calculer les proportions $q_{i}$ de machines intactes, puis $y_{i} = ln q_{i}$ (à $1 0^{- 3}$ près).
Justifier que si la durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre $λ$ , alors les points $(t_{i}; y_{i})$ sont alignés sur une droite passant par l'origine, de coefficient directeur $- λ$ .
Déterminer le coefficient directeur $a$ de la droite des moindres carrés de $y$ en $t$ , et en déduire une estimation de $λ$ .
Estimer la durée de vie moyenne et la médiane.

Changement de variable.

$t_{i} q_{i} y_{i} = ln q_{i} 5 0, 850 - 0, 163 10 0, 690 - 0, 371 15 0, 550 - 0, 598 20 0, 470 - 0, 755 25 0, 370 - 0, 994 30 0, 305 - 1, 187$

Pourquoi une droite. Si la durée de vie $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ , la proportion de machines encore intactes à la date $t$ estime $P (T > t) = e^{- λ t}$ . En prenant le logarithme des deux membres, et parce que $ln (e^{x}) = x$ (chapitre 3) :

$y = ln (e^{- λ t}) = - λ t .$

C'est une fonction affine de $t$ , de coefficient directeur $- λ$ et d'ordonnée à l'origine nulle.

Droite des moindres carrés. On a $t ˉ = 17, 5$ et $y ˉ = \frac{- 4 , 068}{6} = - 0, 678$ . Le chapitre 10 donne

$a = \frac{\sum ( t _{i} - t ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( t _{i} - t ˉ ) ^{2}} .$

Les écarts $t_{i} - t ˉ$ valent $- 12, 5$ , $- 7, 5$ , $- 2, 5$ , $2, 5$ , $7, 5$ , $12, 5$ , d'où

$\sum (t_{i} - t ˉ)^{2} = 2 (156, 25 + 56, 25 + 6, 25) = 437, 5.$

Les écarts $y_{i} - y ˉ$ valent $0, 515$ , $0, 307$ , $0, 080$ , $- 0, 077$ , $- 0, 316$ , $- 0, 509$ , et la somme des produits vaut

$- 6, 4375 - 2, 3025 - 0, 200 - 0, 1925 - 2, 370 - 6, 3625 = - 17, 865.$

Donc

$a = \frac{- 17 , 865}{437 , 5} \approx - 0, 0408, soit λ \approx 0, 0408 par jour.$

L'ordonnée à l'origine, $b = y ˉ - a t ˉ \approx 0, 037$ , est proche de $0$ comme prévu : c'est un contrôle du modèle.

Durée de vie.

$E (T) = \frac{1}{λ} \approx 24, 5 jours, m = \frac{ln 2}{λ} \approx 17, 0 jours.$

La moitié des machines tombe en panne avant $17$ jours, alors que la durée de vie moyenne dépasse $24$ jours.

La droite étant bien ajustée et son ordonnée à l'origine presque nulle, le modèle exponentiel est plausible ici. Il resterait à vérifier qu'il n'y a pas d'usure : c'est l'objet de l'exercice sur les deux pièces de même durée de vie moyenne.

Estimer $λ$ sur des données

Énoncé

Corrigé