Estimer $\lambda$ sur des données

• Changement de variable.

$$\begin{array}{lcccccc}{t}_i& 5& 10& 15& 20& 25& 30\\ q_i& 0,850& 0,690& 0,550& 0,470& 0,370& 0,305\\ y_i=\ln q_i& -0,163& -0,371& -0,598& -0,755& -0,994& -1,187\end{array}$$

• Pourquoi une droite. Si la durée de vie $T$ suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda$, la proportion de machines encore intactes à la date $t$ estime $P(T>t)=e^{-\lambda t}$. En prenant le logarithme des deux membres, et parce que $\ln \left(e^x\right)=x$ (chapitre 3) :

$$y=\ln \left(e^{-\lambda t}\right)=-\lambda t.$$

C'est une fonction affine de $t$, de coefficient directeur $-\lambda$ et d'ordonnée à l'origine nulle.

• Droite des moindres carrés. On a $\bar{t}=17,5$ et $\bar{y}=\frac{-4,068}{6}=-0,678$. Le chapitre 10 donne

$$a=\frac{\sum (t_i-\bar{t})(y_i-\bar{y})}{\sum (t_i-\bar{t}{)}^2}.$$

Les écarts $t_i-\bar{t}$ valent $-12,5$, $-7,5$, $-2,5$, $2,5$, $7,5$, $12,5$, d'où

$$\sum (t_i-\bar{t}{)}^2=2(156,25+56,25+6,25)=437,5.$$

Les écarts $y_i-\bar{y}$ valent $0,515$, $0,307$, $0,080$, $-0,077$, $-0,316$, $-0,509$, et la somme des produits vaut

$$-6,4375-2,3025-0,200-0,1925-2,370-6,3625=-17,865.$$

Donc

$$a=\frac{-17,865}{437,5}\approx -0,0408,\text{soit}\lambda \approx 0,0408\text{ par jour.}$$

L'ordonnée à l'origine, $b=\bar{y}-a\bar{t}\approx 0,037$, est proche de $0$ comme prévu : c'est un contrôle du modèle.

• Durée de vie.

$$E(T)=\frac{1}{\lambda }\approx 24,5\text{ jours},m=\frac{\ln 2}{\lambda }\approx 17,0\text{ jours.}$$

La moitié des machines tombe en panne avant $17$ jours, alors que la durée de vie moyenne dépasse $24$ jours.

La droite étant bien ajustée et son ordonnée à l'origine presque nulle, le modèle exponentiel est plausible ici. Il resterait à vérifier qu'il n'y a pas d'usure : c'est l'objet de l'exercice sur les deux pièces de même durée de vie moyenne.