Le temps d'attente aux urgences — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 18)

Le temps d'attente aux urgences

Thème 8 — Temps d'attente · niveau 1 (application)

Énoncé

Le temps d'attente aux urgences.

Dans un service d'urgences, la durée $T$ entre l'enregistrement d'un patient et sa prise en charge est modélisée par une loi exponentielle d'espérance $12$ minutes.

Déterminer $λ$ et $σ (T)$ .
Calculer la médiane et le troisième quartile de $T$ .
Calculer $P (T \leq 5)$ , $P (T > 24)$ et $P (T > 30)$ .
Un patient attend depuis $10$ minutes. Quelle est la probabilité qu'il attende encore $20$ minutes de plus ?
Le service affiche « $12$ minutes d'attente en moyenne ». Que faudrait-il afficher ?

Corrigé

Paramètre et dispersion. $E (T) = \frac{1}{λ} = 12$ donne $λ = \frac{1}{12} \approx 0, 0833$ par minute. Pour une loi exponentielle, $σ (T) = E (T) = 12$ minutes : la dispersion est aussi grande que la moyenne.
Médiane et quartile.

$m = \frac{ln 2}{λ} = 12 ln 2 \approx 8, 32 min, Q_{3} = \frac{ln 4}{λ} = 12 ln 4 \approx 16, 64 min.$

Trois probabilités.

$P (T \leq 5) = 1 - e^{- 5/12} \approx 0, 341, P (T > 24) = e^{- 2} \approx 0, 135, P (T > 30) = e^{- 2, 5} \approx 0, 082.$

Absence de mémoire. L'événement demandé est $(T > 30)$ sachant $(T > 10)$ , et

$P_{(T > 10)} (T > 30) = P (T > 20) = e^{- 20/12} \approx 0, 189.$

Les dix minutes déjà passées ne comptent pour rien : le modèle affirme que le patient n'est pas « plus près » d'être appelé qu'à son arrivée.

Ce qu'il faudrait afficher. La médiane, $8$ minutes environ : la moitié des patients est prise en charge avant. Et un délai de sécurité : un patient sur douze attend plus d'une demi-heure. Afficher la seule moyenne fait promettre à la fois trop et trop peu.

La question 4 signale aussi la limite du modèle : dans un vrai service, l'attente dépend du degré d'urgence et de l'heure, et n'est certainement pas sans mémoire.