Le temps d'attente aux urgences

• Paramètre et dispersion. $E(T)=\frac{1}{\lambda }=12$ donne $\lambda =\frac{1}{12}\approx 0,0833$ par minute. Pour une loi exponentielle, $\sigma (T)=E(T)=12$ minutes : la dispersion est aussi grande que la moyenne.
• Médiane et quartile.

$$m=\frac{\ln 2}{\lambda }=12\ln 2\approx 8,32\text{ min},Q_3=\frac{\ln 4}{\lambda }=12\ln 4\approx 16,64\text{ min.}$$

• Trois probabilités.

$$P(T\le 5)=1-e^{-5/12}\approx 0,341,P(T>24)=e^{-2}\approx 0,135,P(T>30)=e^{-2,5}\approx 0,082.$$

• Absence de mémoire. L'événement demandé est $(T>30)$ sachant $(T>10)$, et

$$P_{(T>10)}(T>30)=P(T>20)=e^{-20/12}\approx 0,189.$$

Les dix minutes déjà passées ne comptent pour rien : le modèle affirme que le patient n'est pas « plus près » d'être appelé qu'à son arrivée.

• Ce qu'il faudrait afficher. La médiane, $8$ minutes environ : la moitié des patients est prise en charge avant. Et un délai de sécurité : un patient sur douze attend plus d'une demi-heure. Afficher la seule moyenne fait promettre à la fois trop et trop peu.

La question 4 signale aussi la limite du modèle : dans un vrai service, l'attente dépend du degré d'urgence et de l'heure, et n'est certainement pas sans mémoire.