Le troisième appel

• Prévision. L'espérance d'une somme est la somme des espérances, et chaque délai a pour espérance $\frac{1}{0,5}=2$ heures :

$$E(S)=3\times 2=6\text{ heures.}$$

• Simulation.

seed(12)
echantillon = [somme(lambda: expo(0.5), 3) for _ in range(N)]
tri = sorted(echantillon)
print(round(sum(echantillon) / N, 3))                  # 6.005
print(round((tri[N // 2 - 1] + tri[N // 2]) / 2, 3))   # 5.365
for seuil in (4, 6, 10):
    print(seuil, sum(1 for s in echantillon if s > seuil) / N)
# 4 0.67939
# 6 0.42504
# 10 0.12346

La moyenne simulée, $6,005$, confirme la prévision. La médiane vaut $5,37$ heures, soit $0,89$ fois la moyenne.

• Trois probabilités. $P(S>4)\approx 0,679$, $P(S>6)\approx 0,425$ et $P(S>10)\approx 0,123$.
• Fermeture. Ne pas avoir reçu trois appels en dix heures, c'est exactement l'événement $(S>10)$ : sa probabilité est estimée à $0,123$, soit un jour sur huit environ.

Noter que $P(S>6)\approx 0,425$ : l'attente dépasse sa moyenne dans $42,5\%$ des cas, contre $36,8\%$ pour une attente unique. En attendant trois appels plutôt qu'un, on se rapproche d'une situation symétrique — c'est le phénomène que montrent les histogrammes de l'attente du $k$-ième appel.