Problème — Dimensionner un guichet — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 18)

Problème — Dimensionner un guichet.

Une mairie ouvre un guichet unique d'état civil. Le traitement d'un dossier dure $4$ minutes en moyenne et suit une loi exponentielle ; les arrivées sont séparées par des durées exponentielles indépendantes. En heure creuse il se présente $9$ personnes par heure, en heure de pointe $13, 5$ .

Calculer le nombre de dossiers que le guichet peut traiter par heure, puis le taux d'occupation $ρ$ en heure creuse et en heure de pointe.
Simuler l'attente moyenne dans les deux régimes.
La mairie envisage de dématérialiser une partie du dossier, ce qui ramènerait le traitement à $3, 5$ minutes puis à $3$ minutes. Simuler l'attente moyenne en heure de pointe dans ces deux cas.
Elle envisage aussi d'ouvrir un second guichet, le flux se répartissant également entre les deux. Simuler l'attente moyenne.
Comparer les trois pistes et conclure.

Capacité et occupation. Un service de $4$ minutes en moyenne correspond à $μ = \frac{1}{4}$ dossier par minute, soit $15$ dossiers par heure. Donc

$ρ_{creuse} = \frac{9}{15} = 0, 6, ρ_{pointe} = \frac{13 , 5}{15} = 0, 9.$

En heure de pointe le guichet travaille $90 %$ du temps : il reste peu de marge.

Les deux régimes.


for nom, lam, mu in (("heure creuse", 9 / 60, 1 / 4),
                     ("heure de pointe", 13.5 / 60, 1 / 4)):
    seed(8)
    print(nom, round(file_attente(lam, mu, 1000000), 3))
# heure creuse 5.992
# heure de pointe 35.271

L'attente moyenne passe de $6$ minutes à $35$ minutes. Le flux a augmenté de $50 %$ , l'attente a été multipliée par près de six.

Accélérer le service.


for duree in (3.5, 3):
    seed(8)
    print(duree, round(file_attente(13.5 / 60, 1 / duree, 1000000), 3))
# 3.5 12.869
# 3 6.218

Gagner une demi-minute sur le traitement fait tomber l'attente de $35$ à $13$ minutes ; gagner une minute la ramène à $6$ minutes. C'est que $ρ$ passe de $0, 9$ à $0, 7875$ puis à $0, 675$ : on redescend la partie abrupte de la courbe.

Deux guichets. Chaque guichet reçoit $6, 75$ personnes par heure, donc $ρ = 0, 45$ .


seed(8)
print(round(file_attente(6.75 / 60, 1 / 4, 1000000), 3))   # 3.266

L'attente moyenne tombe à $3, 3$ minutes.

Comparaison. Le second guichet est la solution la plus efficace ( $3, 3$ min) mais la plus coûteuse : il double la masse salariale du service. La dématérialisation ramenant le traitement à $3$ minutes obtient presque le même résultat ( $6, 2$ min contre $35$ ) sans embauche. Et une amélioration deux fois plus petite, à $3, 5$ minutes, capte déjà plus des trois quarts du gain.

La morale est celle de la courbe : près de la saturation, un petit gain de capacité produit un très grand gain d'attente, et réciproquement une petite dégradation (un agent absent, un logiciel plus lent) produit un effondrement. Un service dimensionné « au plus juste » n'est pas efficace : il est à la merci du moindre aléa.

Problème — Dimensionner un guichet

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