Problème — L'enquête à l'arrêt de la ligne 12

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 18 — Thème 8 — Temps d'attente

Énoncé

Problème — L'enquête à l'arrêt de la ligne 12.

Reprenons le relevé du club : $60$ intervalles de moyenne $10, 27$ minutes, et $240$ attentes d'usagers de moyenne $10, 55$ minutes et de médiane $6, 73$ minutes. La régie propose deux plans d'action : (P1) ajouter un bus par heure, ce qui ramènerait l'intervalle moyen à $8, 6$ minutes en conservant la même irrégularité ; (P2) installer une régulation aux terminus, ce qui rendrait les intervalles réguliers sans en changer la moyenne.

Justifier que le modèle exponentiel est cohérent avec le relevé des attentes, en comparant $P (T > 20)$ à la fréquence observée et la médiane théorique à la médiane observée.
Sous ce modèle, calculer $E (L)$ , $V (L)$ puis l'attente moyenne prévue. Comparer à $10, 55$ .
Évaluer l'attente moyenne après le plan (P1).
Évaluer l'attente moyenne après le plan (P2).
Simuler les trois horaires — actuel, (P1), (P2) — et confronter à ces prévisions.
Que recommander à la régie ?

Corrigé

Le modèle tient. Prenons $λ = 0, 1$ (intervalle moyen $10$ minutes). Le modèle prévoit $P (T > 20) = e^{- 2} \approx 0, 135$ et une médiane $10 ln 2 \approx 6, 93$ minutes. Le relevé donne $\frac{40}{240} \approx 0, 167$ et $6, 73$ minutes. Sur $240$ observations, ces écarts sont de l'ordre des fluctuations d'échantillonnage : le modèle est acceptable.
Attente prévue. Pour la loi exponentielle de paramètre $0, 1$ ,

$E (L) = \frac{1}{0 , 1} = 10, V (L) = \frac{1}{0 , 1 ^{2}} = 100,$

d'où

$E (attente) = \frac{E ( L )}{2} + \frac{V ( L )}{2 E ( L )} = 5 + \frac{100}{20} = 10 min.$

Le relevé donnait $10, 55$ : le modèle explique donc entièrement le paradoxe de départ. La moitié de l'attente vient de la fréquence, l'autre moitié de l'irrégularité.

Plan (P1) : plus de bus. L'intervalle moyen passe à $8, 6$ minutes sans changer la nature de la loi : $λ^{'} = \frac{1}{8 , 6}$ , donc $V (L) = 8, 6^{2}$ et

$E (attente) = \frac{8 , 6}{2} + \frac{8 , 6 ^{2}}{2 \times 8 , 6} = 4, 3 + 4, 3 = 8, 6 min.$

On gagne $1, 4$ minute pour un bus de plus par heure.

Plan (P2) : régulariser. Les intervalles deviennent tous égaux à $10$ minutes, donc $V (L) = 0$ et

$E (attente) = \frac{10}{2} + 0 = 5 min.$

On gagne $5$ minutes, sans mettre un seul bus de plus en service.

Simulation.


horaires = {"actuel": lambda: expo(0.1),
            "(P1) un bus de plus": lambda: expo(1 / 8.6),
            "(P2) regularise": lambda: 10}
for nom, loi in horaires.items():
    seed(8)
    a = attentes(loi, 60000, 20000)
    print(nom, round(sum(a) / len(a), 3))
# actuel 10.02
# (P1) un bus de plus 8.568
# (P2) regularise 5.007

Les trois simulations reproduisent les trois prévisions à moins de $1 %$ près.

Recommandation. Le plan (P2). Il divise l'attente moyenne par deux, là où le plan (P1) la réduit de $15 %$ pour un coût d'exploitation supérieur. L'argument tient en une ligne de la formule : ajouter des bus n'agit que sur le terme $\frac{E ( L )}{2}$ , alors que réguler supprime le terme $\frac{V ( L )}{2 E ( L )}$ — lequel, pour une ligne exponentielle, vaut exactement autant que le premier.

Il reste à dire ce que le modèle ne dit pas : la régulation impose parfois d'immobiliser un bus en avance à un terminus, ce qui a un coût, et l'hypothèse d'arrivée « au hasard » des usagers cesse de valoir si ceux-ci consultent les horaires en temps réel. Un modèle sert à hiérarchiser les décisions, pas à les prendre.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.