Problème — L'enquête à l'arrêt de la ligne 12

• Le modèle tient. Prenons $\lambda =0,1$ (intervalle moyen $10$ minutes). Le modèle prévoit $P(T>20)=e^{-2}\approx 0,135$ et une médiane $10\ln 2\approx 6,93$ minutes. Le relevé donne $\frac{40}{240}\approx 0,167$ et $6,73$ minutes. Sur $240$ observations, ces écarts sont de l'ordre des fluctuations d'échantillonnage : le modèle est acceptable.
• Attente prévue. Pour la loi exponentielle de paramètre $0,1$,

$$E(L)=\frac{1}{0,1}=10,V(L)=\frac{1}{0,1^2}=100,$$

d'où

$$E(\text{attente})=\frac{E(L)}{2}+\frac{V(L)}{2E(L)}=5+\frac{100}{20}=10\text{ min.}$$

Le relevé donnait $10,55$ : le modèle explique donc entièrement le paradoxe de départ. La moitié de l'attente vient de la fréquence, l'autre moitié de l'irrégularité.

• Plan (P1) : plus de bus. L'intervalle moyen passe à $8,6$ minutes sans changer la nature de la loi : ${\lambda }^{\prime }=\frac{1}{8,6}$, donc $V(L)=8,6^2$ et

$$E(\text{attente})=\frac{8,6}{2}+\frac{8,6^2}{2\times 8,6}=4,3+4,3=8,6\text{ min.}$$

On gagne $1,4$ minute pour un bus de plus par heure.

• Plan (P2) : régulariser. Les intervalles deviennent tous égaux à $10$ minutes, donc $V(L)=0$ et

$$E(\text{attente})=\frac{10}{2}+0=5\text{ min.}$$

On gagne $5$ minutes, sans mettre un seul bus de plus en service.

• Simulation.

horaires = {"actuel": lambda: expo(0.1),
            "(P1) un bus de plus": lambda: expo(1 / 8.6),
            "(P2) regularise": lambda: 10}
for nom, loi in horaires.items():
    seed(8)
    a = attentes(loi, 60000, 20000)
    print(nom, round(sum(a) / len(a), 3))
# actuel 10.02
# (P1) un bus de plus 8.568
# (P2) regularise 5.007

Les trois simulations reproduisent les trois prévisions à moins de $1\%$ près.

• Recommandation. Le plan (P2). Il divise l'attente moyenne par deux, là où le plan (P1) la réduit de $15\%$ pour un coût d'exploitation supérieur. L'argument tient en une ligne de la formule : ajouter des bus n'agit que sur le terme $\frac{E(L)}{2}$, alors que réguler supprime le terme $\frac{V(L)}{2E(L)}$ — lequel, pour une ligne exponentielle, vaut exactement autant que le premier.

Il reste à dire ce que le modèle ne dit pas : la régulation impose parfois d'immobiliser un bus en avance à un terminus, ce qui a un coût, et l'hypothèse d'arrivée « au hasard » des usagers cesse de valoir si ceux-ci consultent les horaires en temps réel. Un modèle sert à hiérarchiser les décisions, pas à les prendre.