Trois nombres pour une même attente

• Le modèle. Chaque examen est une épreuve à deux issues de même paramètre $p=0,15$, et les examens sont indépendants : $X$ suit la loi géométrique de paramètre $0,15$, avec $P(X>n)=0,85^n$ et

$$E(X)=\frac{1}{0,15}=\frac{20}{3}\approx 6,67\text{ donneurs}$$

(espérance admise au chapitre 8).

• Médiane. On cherche le plus petit entier $n$ tel que $P(X\le n)\ge 0,5$, c'est-à-dire $0,85^n\le 0,5$. En appliquant $\ln$, puis en divisant par $\ln 0,85$ qui est négatif :

$$n\ge \frac{\ln 0,5}{\ln 0,85}\approx 4,27,\text{donc}n=5.$$

Vérification : $0,85^4\approx 0,522>0,5$ et $0,85^5\approx 0,444\le 0,5$. La médiane vaut bien $5$, et $P(X\le 5)\approx 0,556$.

• Seuil à $95\%$. On veut $0,85^n\le 0,05$, soit

$$n\ge \frac{\ln 0,05}{\ln 0,85}\approx 18,43,\text{donc}n=19.$$

Vérification : $0,85^{18}\approx 0,0537$ et $0,85^{19}\approx 0,0456$. On a alors $P(X\le 19)\approx 0,954$.

• Trois messages. La médiane $5$ décrit le receveur typique ; la moyenne $6,67$ sert à dimensionner le travail du laboratoire sur l'année ; le seuil $19$ sert à promettre un délai. Annoncer l'un pour l'autre serait une faute : « environ sept donneurs » laisserait croire qu'on n'en examine jamais quinze, alors que cela arrive dans $9\%$ des cas, puisque $0,85^{15}\approx 0,087$.

Un seul paramètre, $p=0,15$, et déjà trois réponses différentes selon la question posée : c'est le sujet du thème.