Combien de corrélations avant d'en trouver une ?

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 19 — Thème 9 — Corrélation et causalité

Énoncé

Combien de corrélations avant d'en trouver une ?

Un institut publie $k$ séries statistiques annuelles, chacune sur douze années.

Combien de paires de séries peut-on former ? Calculer pour $k = 10$ , $k = 100$ et $k = 200$ .
On admet que, pour deux séries sans aucun lien de douze valeurs, $P (∣ r ∣ > 0, 576) \approx 0, 05$ . Combien de paires, en moyenne, franchiront ce seuil pour $k = 100$ ?
Une simulation de $100$ séries tirées au hasard donne $241$ paires au-delà de $0, 576$ , dont $61$ au-delà de $0, 7$ , et un maximum à $∣ r ∣ \approx 0, 85$ . Commenter.
Un journaliste publie la meilleure de ces paires. Que lui répondre ?

Corrigé

Le nombre de paires. Former une paire, c'est choisir une partie à deux éléments parmi $k$ :

$(2 k) = \frac{k ( k - 1 )}{2} .$

$(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45, (2 100) = \frac{100 \times 99}{2} = 4950, (2 200) = \frac{200 \times 199}{2} = 19 900.$

Doubler le nombre de séries quadruple presque le nombre de paires.

L'espérance de fausses trouvailles. Chaque paire franchit le seuil avec la probabilité $0, 05$ , donc sur $4950$ paires on en attend en moyenne

$0, 05 \times 4950 = 247, 5 \approx 248.$

La simulation. Elle en donne $241$ , très proche de la valeur attendue. Aucune de ces $241$ paires ne correspond au moindre lien : les séries ont été tirées indépendamment. Le $∣ r ∣ \approx 0, 85$ du maximum est ce qu'on obtient normalement quand on cherche assez longtemps ; il ne signale rien.
La réponse. « Combien de paires avez-vous regardées ? » Le seuil $0, 576$ vaut pour une comparaison décidée à l'avance. Pour $4950$ comparaisons, il faudrait exiger bien davantage — ou, plus simplement, refaire le calcul sur les douze années suivantes, que personne n'a encore vues. Une corrélation qui survit à cette seconde épreuve mérite qu'on s'y intéresse ; les $240$ autres auront disparu.

C'est la raison d'être du préenregistrement : annoncer la relation que l'on va tester avant d'ouvrir les données. Cela ne coûte rien, et cela transforme une pêche en expérience.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.