Combien de corrélations avant d'en trouver une ?

Thème 9 — Corrélation et causalité · niveau 1 (application)

Énoncé

Combien de corrélations avant d'en trouver une ?

Un institut publie $k$ séries statistiques annuelles, chacune sur douze années.

Combien de paires de séries peut-on former ? Calculer pour $k = 10$ , $k = 100$ et $k = 200$ .
On admet que, pour deux séries sans aucun lien de douze valeurs, $P (∣ r ∣ > 0, 576) \approx 0, 05$ . Combien de paires, en moyenne, franchiront ce seuil pour $k = 100$ ?
Une simulation de $100$ séries tirées au hasard donne $241$ paires au-delà de $0, 576$ , dont $61$ au-delà de $0, 7$ , et un maximum à $∣ r ∣ \approx 0, 85$ . Commenter.
Un journaliste publie la meilleure de ces paires. Que lui répondre ?

Corrigé

Le nombre de paires. Former une paire, c'est choisir une partie à deux éléments parmi $k$ :

$(2 k) = \frac{k ( k - 1 )}{2} .$

$(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45, (2 100) = \frac{100 \times 99}{2} = 4950, (2 200) = \frac{200 \times 199}{2} = 19 900.$

Doubler le nombre de séries quadruple presque le nombre de paires.

L'espérance de fausses trouvailles. Chaque paire franchit le seuil avec la probabilité $0, 05$ , donc sur $4950$ paires on en attend en moyenne

$0, 05 \times 4950 = 247, 5 \approx 248.$

La simulation. Elle en donne $241$ , très proche de la valeur attendue. Aucune de ces $241$ paires ne correspond au moindre lien : les séries ont été tirées indépendamment. Le $∣ r ∣ \approx 0, 85$ du maximum est ce qu'on obtient normalement quand on cherche assez longtemps ; il ne signale rien.
La réponse. « Combien de paires avez-vous regardées ? » Le seuil $0, 576$ vaut pour une comparaison décidée à l'avance. Pour $4950$ comparaisons, il faudrait exiger bien davantage — ou, plus simplement, refaire le calcul sur les douze années suivantes, que personne n'a encore vues. Une corrélation qui survit à cette seconde épreuve mérite qu'on s'y intéresse ; les $240$ autres auront disparu.

C'est la raison d'être du préenregistrement : annoncer la relation que l'on va tester avant d'ouvrir les données. Cela ne coûte rien, et cela transforme une pêche en expérience.