Le paradoxe de Simpson, sur des chiffres

Le paradoxe de Simpson, sur des chiffres.

On reprend les effectifs de la lithiase rénale (Julious et Mullee, 1994, d'après Charig et coll., 1986) :

$succ e ˋ s / trait e ˊ s A (chirurgie ouverte) B (percutan e ˊ e) petits calculs 81/87 234/270 gros calculs 192/263 55/80 ensemble 273/350 289/350$

Calculer les six taux de succès et constater l'inversion.
Écrire le taux d'ensemble de chaque traitement comme une moyenne pondérée des deux taux par strate, et identifier les poids.
Expliquer l'inversion à partir de ces poids.
Standardiser les deux traitements sur la population totale.
Quel traitement recommander à un patient porteur d'un gros calcul ? Et à un patient dont on ignore la taille du calcul ?

Les six taux.

$\frac{81}{87} \approx 93, 1 %, \frac{192}{263} \approx 73, 0 %, \frac{273}{350} = 78, 0 %;$

$\frac{234}{270} \approx 86, 7 %, \frac{55}{80} = 68, 75 %, \frac{289}{350} \approx 82, 6 %.$

A devance B de $6, 4$ points sur les petits calculs et de $4, 3$ points sur les gros, et le suit de $4, 6$ points au total. L'inversion est réelle : elle ne tient pas à un arrondi.

Deux moyennes pondérées.

$\frac{273}{350} = \frac{87}{350} \times \frac{81}{87} + \frac{263}{350} \times \frac{192}{263},$

$\frac{289}{350} = \frac{270}{350} \times \frac{234}{270} + \frac{80}{350} \times \frac{55}{80} .$

Les poids sont les parts de patients de chaque strate :

$A : \frac{87}{350} \approx 24, 9 % de petits calculs, B : \frac{270}{350} \approx 77, 1 %.$

L'explication. Les gros calculs sont plus difficiles pour les deux traitements : $73, 0 %$ contre $93, 1 %$ chez A, $68, 75 %$ contre $86, 7 %$ chez B. Or A a été employé sur $75, 1 %$ de gros calculs, B sur seulement $22, 9 %$ . La moyenne de A est donc tirée vers le bas par le poids de sa mauvaise strate, celle de B tirée vers le haut par le poids de sa bonne strate. Le poids l'emporte sur la performance.

Cette répartition n'a rien d'accidentel : la chirurgie ouverte était réservée aux cas les plus lourds. La taille du calcul décide à la fois du traitement et de la chance de succès : c'est une variable de confusion.

Standardisation. La population totale compte $87 + 270 = 357$ petits calculs et $263 + 80 = 343$ gros, soit $700$ patients. On applique à cette population de référence les taux propres de chaque traitement :

$A : \frac{0 , 9310 \times 357 + 0 , 7300 \times 343}{700} \approx \frac{332 , 4 + 250 , 4}{700} \approx 83, 3 %,$

$B : \frac{0 , 8667 \times 357 + 0 , 6875 \times 343}{700} \approx \frac{309 , 4 + 235 , 8}{700} \approx 77, 9 %.$

À répartition identique, A l'emporte de $5, 4$ points : l'inversion a disparu.

Deux recommandations. Pour un patient porteur d'un gros calcul, la comparaison pertinente est celle des gros calculs : $73, 0 %$ contre $68, 75 %$ , donc A. Pour un patient dont on ignore la taille du calcul, la question est mal posée : il faut d'abord mesurer le calcul, ce que sait faire toute imagerie. Répondre « B, puisque $82, 6 > 78, 0$ » reviendrait à choisir un traitement d'après la clientèle passée des chirurgiens plutôt que d'après ce qui marche.

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