Le paradoxe de Simpson, sur des chiffres

• Les six taux.

$$\frac{81}{87}\approx 93,1\%,\frac{192}{263}\approx 73,0\%,\frac{273}{350}=78,0\%;$$

$$\frac{234}{270}\approx 86,7\%,\frac{55}{80}=68,75\%,\frac{289}{350}\approx 82,6\%.$$

A devance B de $6,4$ points sur les petits calculs et de $4,3$ points sur les gros, et le suit de $4,6$ points au total. L'inversion est réelle : elle ne tient pas à un arrondi.

• Deux moyennes pondérées.

$$\frac{273}{350}=\frac{87}{350}\times \frac{81}{87}+\frac{263}{350}\times \frac{192}{263},$$

$$\frac{289}{350}=\frac{270}{350}\times \frac{234}{270}+\frac{80}{350}\times \frac{55}{80}.$$

Les poids sont les parts de patients de chaque strate :

$$\text{A}:\frac{87}{350}\approx 24,9\%\text{ de petits calculs},\text{B}:\frac{270}{350}\approx 77,1\%.$$

• L'explication. Les gros calculs sont plus difficiles pour les deux traitements : $73,0\%$ contre $93,1\%$ chez A, $68,75\%$ contre $86,7\%$ chez B. Or A a été employé sur $75,1\%$ de gros calculs, B sur seulement $22,9\%$. La moyenne de A est donc tirée vers le bas par le poids de sa mauvaise strate, celle de B tirée vers le haut par le poids de sa bonne strate. Le poids l'emporte sur la performance.

Cette répartition n'a rien d'accidentel : la chirurgie ouverte était réservée aux cas les plus lourds. La taille du calcul décide à la fois du traitement et de la chance de succès : c'est une variable de confusion.

• Standardisation. La population totale compte $87+270=357$ petits calculs et $263+80=343$ gros, soit $700$ patients. On applique à cette population de référence les taux propres de chaque traitement :

$$\text{A}:\frac{0,9310\times 357+0,7300\times 343}{700}\approx \frac{332,4+250,4}{700}\approx 83,3\%,$$

$$\text{B}:\frac{0,8667\times 357+0,6875\times 343}{700}\approx \frac{309,4+235,8}{700}\approx 77,9\%.$$

À répartition identique, A l'emporte de $5,4$ points : l'inversion a disparu.

• Deux recommandations. Pour un patient porteur d'un gros calcul, la comparaison pertinente est celle des gros calculs : $73,0\%$ contre $68,75\%$, donc A. Pour un patient dont on ignore la taille du calcul, la question est mal posée : il faut d'abord mesurer le calcul, ce que sait faire toute imagerie. Répondre « B, puisque $82,6>78,0$ » reviendrait à choisir un traitement d'après la clientèle passée des chirurgiens plutôt que d'après ce qui marche.