Le tirage au sort équilibre-t-il vraiment les groupes ?

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 19 — Thème 9 — Corrélation et causalité

Énoncé

Le tirage au sort équilibre-t-il vraiment les groupes ?

Dans un essai, chaque patient est affecté au groupe traité ou au groupe témoin par un tirage à pile ou face indépendant. Une proportion des patients porte un facteur de risque que personne n'a mesuré. On note $X$ le nombre de porteurs affectés au groupe traité.

Justifier que $X$ suit une loi binomiale et donner ses paramètres.
Petit essai : $40$ patients, dont $12$ porteurs. Calculer $E (X)$ et l'écart type de $X$ , puis déterminer $I$ tel que $P (X \in I) \geq 0, 95$ . Traduire en part de porteurs dans le groupe traité.
Grand essai : $1000$ patients, dont $300$ porteurs. Même travail (on donne $I = [133; 167]$ ).
Que garantit, et que ne garantit pas, le tirage au sort ?

Corrigé

Schéma de Bernoulli. On considère les $C$ porteurs. Pour chacun on répète la même épreuve — le lancer de la pièce — avec deux issues, « groupe traité » (succès, de probabilité $\frac{1}{2}$ ) et « groupe témoin ». Les lancers sont indépendants et leur nombre $C$ est fixé à l'avance : c'est un schéma de Bernoulli, donc

$X \sim B (C; \frac{1}{2}) .$

Le point essentiel est que la probabilité $\frac{1}{2}$ ne dépend pas du fait d'être porteur : c'est cela, ne pas être biaisé.

Petit essai. Ici $C = 12$ , donc

$E (X) = 12 \times \frac{1}{2} = 6, σ = 12 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 3 \approx 1, 73.$

Pour l'intervalle, on rejette $0, 025$ de chaque côté. Comme $2^{12} = 4096$ ,

$P (X \leq 2) = \frac{( 0 12 ) + ( 1 12 ) + ( 2 12 )}{4 096} = \frac{1 + 12 + 66}{4 096} = \frac{79}{4 096} \approx 0, 0193,$

$P (X \leq 3) = \frac{79 + ( 3 12 )}{4 096} = \frac{79 + 220}{4 096} = \frac{299}{4 096} \approx 0, 0730.$

Le plus petit entier $a$ tel que $P (X \leq a) > 0, 025$ est donc $a = 3$ . Par symétrie de la loi ( $p = \frac{1}{2}$ ), $P (X \leq 9) = 1 - P (X \leq 2) \approx 0, 9807$ et $P (X \leq 8) = 1 - P (X \leq 3) \approx 0, 9270$ , donc $b = 9$ . Ainsi

$I = [3; 9], P (X \in I) \approx 0, 961.$

Le groupe traité comptant $20$ patients, la part de porteurs peut aller de $\frac{3}{20} = 15 %$ à $\frac{9}{20} = 45 %$ — pour une valeur attendue de $30 %$ . Le déséquilibre entre les deux groupes peut atteindre $30$ points.

Grand essai. Ici $C = 300$ , donc

$E (X) = 150, σ = 300 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = 75 \approx 8, 66.$

Avec $I = [133; 167]$ et un groupe traité de $500$ patients, la part de porteurs va de $\frac{133}{500} = 26, 6 %$ à $\frac{167}{500} = 33, 4 %$ . Le déséquilibre entre groupes ne dépasse pas $7$ points.

Ce qui est garanti. Le tirage au sort garantit l'absence de biais : la loi de $X$ est centrée sur $C /2$ , dans les deux essais et pour toute caractéristique, mesurée ou non. Il ne garantit pas l'égalité des groupes sur un essai particulier : il laisse une fluctuation, dont l'écart type est $\frac{C}{2}$ . Cette fluctuation croît comme $C$ quand l'effectif croît comme $C$ : en proportion, elle s'écrase.


from math import comb

def loi_binomiale(n, p):
    return [comb(n, k) * p**k * (1 - p)**(n - k) for k in range(n + 1)]

def intervalle_fluctuation(n, p, alpha=0.05):
    # Methode du chapitre 8 : on rejette alpha/2 de chaque cote.
    loi = loi_binomiale(n, p)
    cumul, s = [], 0.0
    for v in loi:
        s += v
        cumul.append(s)
    a = min(k for k in range(n + 1) if cumul[k] > alpha / 2)
    b = min(k for k in range(n + 1) if cumul[k] >= 1 - alpha / 2)
    return a, b, cumul[b] - (cumul[a - 1] if a > 0 else 0.0)

print(intervalle_fluctuation(12, 0.5))    # (3, 9, 0.9614...)
print(intervalle_fluctuation(300, 0.5))   # (133, 167, 0.9569...)

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