Lire le résultat d'un essai randomisé

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 19 — Thème 9 — Corrélation et causalité

Énoncé

Lire le résultat d'un essai randomisé.

Un essai en double aveugle porte sur $200$ patients migraineux, répartis au hasard en deux groupes de $100$ . Deux heures après la prise, on compte les patients soulagés : $66$ dans le groupe traité, $41$ dans le groupe placebo.

Qu'aurait-on conclu sans groupe témoin ?
On veut savoir si un écart pareil peut venir du seul tirage au sort. Sous l'hypothèse « le traitement n'y est pour rien », justifier que le nombre $X$ de soulagés du groupe traité suit $B (107; 0, 5)$ .
Calculer $E (X)$ et $σ$ . On donne $I = [43; 64]$ avec $P (X \in I) \approx 0, 967$ . Conclure.
On donne $P (X \geq 66) = P (X \leq 41) \approx 0, 00995$ . Interpréter.
Rédiger la conclusion de l'essai avec les précautions qui s'imposent.

Corrigé

Sans témoin. On lirait « $66 %$ des patients sont soulagés » et l'on crierait au succès. Le groupe placebo montre pourtant que $41 %$ l'auraient été de toute façon : migraine qui passe seule, effet du soin, repos. La part qui revient au principe actif n'est pas $66$ points, mais $66 - 41 = 25$ points.
Le modèle sous l'hypothèse nulle. Supposons le traitement sans effet. Alors les $66 + 41 = 107$ patients soulagés l'auraient été quel que soit leur groupe ; leur soulagement était écrit d'avance, et seule la pièce a décidé de leur affectation. Pour chacun d'eux, « être dans le groupe traité » est donc un succès de probabilité $\frac{1}{2}$ , les $107$ lancers sont indépendants et leur nombre est fixé : $X \sim B (107; 0, 5)$ .

C'est ici que le tirage au sort paie : il fournit non pas une hypothèse commode, mais le mécanisme réel qui a produit les données.

Où tombe la valeur observée.

$E (X) = 107 \times 0, 5 = 53, 5, σ = 107 \times 0, 25 \approx 5, 17.$

L'intervalle $[43; 64]$ contient $96, 7 %$ de la probabilité. La valeur observée, $66$ , est en dehors. Un déséquilibre aussi marqué ne s'explique donc pas raisonnablement par le seul hasard du tirage : on rejette l'hypothèse « le traitement n'y est pour rien ».

La probabilité de l'écart. Un écart au moins aussi extrême, dans un sens ou dans l'autre, a pour probabilité

$P (X \geq 66) + P (X \leq 41) \approx 0, 00995 + 0, 00995 \approx 0, 0199,$

soit environ $2 %$ : deux essais sur cent, si le traitement était inerte, donneraient un déséquilibre pareil. C'est peu, et c'est ce qui autorise à parler d'effet ; ce n'est pas nul, et un essai isolé ne vaudra jamais une réplication.

Rédaction. Chez des adultes migraineux comparables à ceux de l'essai, ce traitement soulage à deux heures environ $25$ patients de plus sur cent qu'un placebo. Un écart au moins aussi grand se produirait dans environ $2 %$ des essais si le produit était inactif. Ni « le traitement guérit la migraine » — on a mesuré le soulagement à deux heures, pas la guérison — ni « il marche chez tout le monde » : l'essai ne dit rien des enfants, des femmes enceintes, ni de la quatrième crise.

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