Dater le refroidissement d'une coulée de lave

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Dater le refroidissement d'une coulée de lave.

Une coulée de lave émise à $1100^{\circ}$ C refroidit dans un air ambiant à $25^{\circ}$ C. Les géologues modélisent sa température de surface, en degrés Celsius, par

$T (t) = 25 + 1075 e^{- 0, 08 t}, t \geq 0 (en heures) .$

La croûte se solidifie lorsque la température passe sous $700^{\circ}$ C.

Vérifier $T (0)$ , puis déterminer $lim_{t \to + \infty} T (t)$ et interpréter.
Montrer que l'équation $T (t) = 700$ admet une unique solution $α$ sur $[0; 10]$ .
Mener six étapes de dichotomie et conclure.
Combien d'étapes faudrait-il pour un encadrement d'amplitude $0, 01$ heure ?

Corrigé

$T (0) = 25 + 1075 = 1100^{\circ}$ C : c'est bien la température d'émission. Quand $t \to + \infty$ , $- 0, 08 t \to - \infty$ donc $e^{- 0, 08 t} \to 0$ , et

$t \to + \infty lim T (t) = 25.$

La droite $y = 25$ est asymptote horizontale : la lave tend vers la température de l'air sans jamais descendre en dessous, puisque $T (t) - 25 = 1075 e^{- 0, 08 t} > 0$ .

$T$ est continue (somme d'une constante et d'une exponentielle composée avec une fonction affine) et strictement décroissante sur $[0; 10]$ . De plus $T (0) = 1100$ et $T (10) \approx 508, 03$ , et $508, 03 < 700 < 1100$ . Les trois conditions sont réunies : l'équation $T (t) = 700$ admet une unique solution $α$ dans $[0; 10]$ .

Dichotomie. À chaque étape on calcule le milieu $m$ et on conserve la moitié aux bornes de laquelle $T - 700$ change de signe.

Étape	Intervalle	Milieu $m$	$T (m)$	Moitié conservée
1	$[0; 10]$	$5$	$745, 59 > 700$	$[5; 10]$
2	$[5; 10]$	$7, 5$	$614, 97 < 700$	$[5; 7, 5]$
3	$[5; 7, 5]$	$6, 25$	$677, 02 < 700$	$[5; 6, 25]$
4	$[5; 6, 25]$	$5, 625$	$710, 45 > 700$	$[5, 625; 6, 25]$
5	$[5, 625; 6, 25]$	$5, 9375$	$693, 53 < 700$	$[5, 625; 5, 9375]$
6	$[5, 625; 5, 9375]$	$5, 78125$	$701, 94 > 700$	$[5, 78125; 5, 9375]$

On obtient $5, 78 < α < 5, 94$ : la croûte se forme environ $5$ h $50$ après l'émission de la coulée.

L'amplitude après $n$ étapes vaut $\frac{10}{2 ^{n}}$ . On veut

$\frac{10}{2 ^{n}} \leq 0, 01 ⟺ 2^{n} \geq 1 000.$

Comme $2^{9} = 512$ et $2^{10} = 1024$ , il faut dix étapes.

La dichotomie n'a besoin d'aucune formule de résolution : seulement de la continuité, de la monotonie, et de la capacité à évaluer $T$ .