Deux médicaments se croisent

• Continuité et monotonie : $t\mapsto -0,4t$ est strictement décroissante et $X\mapsto e^X$ strictement croissante, donc $A$ est strictement décroissante ; $B$ est affine de coefficient $0,8>0$ donc strictement croissante, et $-B$ strictement décroissante. Comme somme de deux fonctions strictement décroissantes, $g=A+(-B)$ est strictement décroissante. Elle est de plus continue, comme somme d'une exponentielle et d'une fonction affine.

• $g(0)=10-0=10$ et $g(5)=10e^{-2}-4\approx 1,35-4\approx -2,65$.

• Application du théorème des valeurs intermédiaires (admis), sous ses trois conditions :

• $g$ est continue sur $[0;5]$ ;
• $g$ est strictement décroissante sur $[0;5]$, ce qui donnera l'unicité ;
• $0$ est compris entre $g(5)\approx -2,65$ et $g(0)=10$.

L'équation $g(t)=0$ admet donc une unique solution $\alpha$ dans $[0;5]$, c'est-à-dire un unique instant où $A(t)=B(t)$.

• On calcule quelques valeurs :

$$g(3)\approx 0,61>0,g(3,5)\approx -0,33<0⟹3<\alpha <3,5,$$

$$g(3,3)\approx 0,031>0,g(3,4)\approx -0,153<0⟹3,3<\alpha <3,4.$$

Les deux concentrations se croisent environ $3$ h $20$ après le début du traitement, à une valeur commune voisine de $2,65$ mg$\cdot$L${}^{-1}$. Le théorème a garanti l'existence de cet instant avant qu'on sache le calculer — et on ne sait toujours pas le calculer exactement.