Deux médicaments se croisent — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 2)

Deux médicaments se croisent

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 2

Énoncé

Deux médicaments se croisent.

Un patient reçoit une dose unique du médicament A, dont la concentration décroît, et simultanément une perfusion du médicament B, dont la concentration croît. En mg $\cdot$ L $^{- 1}$ et pour $t$ en heures, sur $[0; 5]$ :

$A (t) = 10 e^{- 0, 4 t} et B (t) = 0, 8 t .$

On pose $g = A - B$ .

Justifier que $g$ est continue et strictement décroissante sur $[0; 5]$ .
Calculer $g (0)$ et une valeur approchée de $g (5)$ .
Montrer que les deux concentrations sont égales à un unique instant $α$ .
Encadrer $α$ à $0, 1$ près et interpréter.

Corrigé

Continuité et monotonie : $t \mapsto - 0, 4 t$ est strictement décroissante et $X \mapsto e^{X}$ strictement croissante, donc $A$ est strictement décroissante ; $B$ est affine de coefficient $0, 8 > 0$ donc strictement croissante, et $- B$ strictement décroissante. Comme somme de deux fonctions strictement décroissantes, $g = A + (- B)$ est strictement décroissante. Elle est de plus continue, comme somme d'une exponentielle et d'une fonction affine.

$g (0) = 10 - 0 = 10$ et $g (5) = 10 e^{- 2} - 4 \approx 1, 35 - 4 \approx - 2, 65$ .

Application du théorème des valeurs intermédiaires (admis), sous ses trois conditions :

$g$ est continue sur $[0; 5]$ ;
$g$ est strictement décroissante sur $[0; 5]$ , ce qui donnera l'unicité ;
$0$ est compris entre $g (5) \approx - 2, 65$ et $g (0) = 10$ .

L'équation $g (t) = 0$ admet donc une unique solution $α$ dans $[0; 5]$ , c'est-à-dire un unique instant où $A (t) = B (t)$ .

On calcule quelques valeurs :

$g (3) \approx 0, 61 > 0, g (3, 5) \approx - 0, 33 < 0 ⟹ 3 < α < 3, 5,$

$g (3, 3) \approx 0, 031 > 0, g (3, 4) \approx - 0, 153 < 0 ⟹ 3, 3 < α < 3, 4.$

Les deux concentrations se croisent environ $3$ h $20$ après le début du traitement, à une valeur commune voisine de $2, 65$ mg $\cdot$ L $^{- 1}$ . Le théorème a garanti l'existence de cet instant avant qu'on sache le calculer — et on ne sait toujours pas le calculer exactement.