La saturation d'une enzyme

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 2 — Limites, continuité, valeurs intermédiaires

Énoncé

La saturation d'une enzyme.

En biochimie, la vitesse $v$ d'une réaction catalysée par une enzyme dépend de la concentration $S$ du substrat disponible. Pour une enzyme donnée, on modélise cette vitesse, en $μ$ mol $\cdot$ min $^{- 1}$ , par

$v (S) = \frac{12 S}{S + 4}, S \geq 0.$

Déterminer $S \to + \infty lim v (S)$ et interpréter.
Calculer $v (4)$ et commenter.
Quelle concentration faut-il pour atteindre $90 %$ de la vitesse maximale ?

Corrigé

Limite en $+ \infty$ : le numérateur et le dénominateur tendent tous deux vers $+ \infty$ , c'est une forme indéterminée. On factorise par le terme de plus haut degré, ici $S$ :

$v (S) = \frac{12 S}{S ( 1 + \frac{4}{S} )} = \frac{12}{1 + \frac{4}{S}} S \to + \infty \frac{12}{1} = 12.$

La courbe admet la droite $y = 12$ pour asymptote horizontale : la vitesse plafonne à $12 μ$ mol $\cdot$ min $^{- 1}$ . C'est la vitesse maximale de l'enzyme, atteinte lorsque tous ses sites actifs sont occupés.

Un repère remarquable : $v (4) = \frac{48}{8} = 6 = \frac{12}{2}$ . La concentration $S = 4$ est donc celle qui donne la moitié de la vitesse maximale : c'est la constante de Michaelis de l'enzyme, et elle se lit directement au dénominateur du modèle.

Résolution : $90 %$ de $12$ vaut $10, 8$ . Comme $S + 4 > 0$ :

$\frac{12 S}{S + 4} = 10, 8 ⟺ 12 S = 10, 8 (S + 4) ⟺ 1, 2 S = 43, 2 ⟺ S = 36.$

Il faut $S = 36$ , soit neuf fois la constante de Michaelis, pour n'atteindre que $90 %$ de la vitesse maximale : près d'une asymptote, chaque point de pourcentage gagné coûte de plus en plus cher.

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