mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Problème — L'attente aux urgences

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — L'attente aux urgences.

Le taux d'occupation $x$ d'un service d'urgences mesure la part du temps pendant laquelle les équipes sont mobilisées ; il vérifie $0 \leq x < 1$ . Un modèle classique de file d'attente donne le temps d'attente moyen d'un patient, en minutes :

$W (x) = \frac{20 x}{1 - x} .$

Calculer $W (0, 5)$ , $W (0, 8)$ et $W (0, 9)$ .
Déterminer $x \to 1^{-} lim W (x)$ et interpréter.
Comparer $W (0, 5) - W (0, 4)$ et $W (0, 9) - W (0, 8)$ . Que dit ce modèle d'une même hausse de dix points d'occupation ?
Montrer que l'équation $W (x) = 45$ admet une unique solution, puis la calculer exactement.
Le service vise une attente moyenne d'au plus $30$ minutes. Quel taux d'occupation cela impose-t-il au maximum ?
Exprimer $x$ en fonction de $W$ . À quoi cette réciproque sert-elle au directeur du service ?

Corrigé

$W (0, 5) = \frac{10}{0 , 5} = 20$ min ; $W (0, 8) = \frac{16}{0 , 2} = 80$ min ; $W (0, 9) = \frac{18}{0 , 1} = 180$ min.

Quand $x \to 1^{-}$ , le numérateur $20 x$ tend vers $20$ et le dénominateur $1 - x$ tend vers $0$ en restant strictement positif, donc

$x \to 1^{-} lim W (x) = + \infty.$

La droite $x = 1$ est asymptote verticale. Un service occupé $100 %$ du temps n'a pas de temps d'attente fini : le moindre afflux crée un retard que rien ne résorbe. C'est pourquoi un service dimensionné « au plus juste » s'effondre.

$W (0, 4) = \frac{8}{0 , 6} = \frac{40}{3} \approx 13, 33$ min, donc

$W (0, 5) - W (0, 4) = 20 - \frac{40}{3} = \frac{20}{3} \approx 6, 67 min, W (0, 9) - W (0, 8) = 180 - 80 = 100 min .$

La même hausse de dix points coûte quinze fois plus cher près de la saturation. L'attente n'est pas proportionnelle à l'occupation : c'est tout le message du modèle, et il est contre-intuitif.

$W$ est continue sur $[0; 1 [$ (quotient dont le dénominateur ne s'annule pas) et strictement croissante : son numérateur croît pendant que son dénominateur décroît en restant strictement positif. Sur $[0; 0, 9]$ , $W$ croît de $0$ à $180$ , et $0 < 45 < 180$ : l'équation $W (x) = 45$ admet une unique solution. Comme $1 - x > 0$ :

$\frac{20 x}{1 - x} = 45 ⟺ 20 x = 45 (1 - x) ⟺ 65 x = 45 ⟺ x = \frac{45}{65} = \frac{9}{13} \approx 0, 692.$

De même :

$\frac{20 x}{1 - x} \leq 30 ⟺ 20 x \leq 30 (1 - x) ⟺ 50 x \leq 30 ⟺ x \leq 0, 6.$

Le service ne doit pas dépasser $60 %$ d'occupation — autrement dit, il doit accepter que ses équipes soient disponibles $40 %$ du temps. Ce résultat, contraire à l'intuition gestionnaire, est un classique de l'organisation hospitalière.

Pour $W \geq 0$ :

$W = \frac{20 x}{1 - x} ⟺ W (1 - x) = 20 x ⟺ W = x (20 + W) ⟺ x = \frac{W}{20 + W} .$

Vérifications : $W = 30$ donne bien $x = \frac{30}{50} = 0, 6$ , et $W = 45$ donne $x = \frac{45}{65} = \frac{9}{13}$ .

Cette réciproque est exactement l'outil du directeur : il ne choisit pas l'attente, il choisit une cible d'attente et en déduit le taux d'occupation — donc l'effectif — qu'elle impose. La fonction directe décrit le monde, la réciproque permet de le piloter.

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