mathématiques complémentaires (terminale) · Chapitre 2 · Exercice de TD

Problème — Le seuil de rentabilité

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Problème — Le seuil de rentabilité.

Une entreprise produit $q$ milliers d'unités, avec $q \in] 0; 12]$ . Son coût total, en milliers d'euros, est

$C (q) = 0, 5 q^{3} - 6 q^{2} + 30 q + 40,$

et chaque millier d'unités est vendu $24$ milliers d'euros, d'où la recette $R (q) = 24 q$ .

Exprimer le coût moyen $CM (q) = \frac{C ( q )}{q}$ , déterminer sa limite en $0^{+}$ et interpréter.
Le bénéfice est $B (q) = R (q) - C (q)$ . Vérifier que $B (4) = 0$ , puis montrer que

$B (q) = - 0, 5 (q - 4) (q - 10) (q + 2) .$

En déduire l'intervalle sur lequel l'entreprise est bénéficiaire.
Calculer $B^{'} (q)$ et déterminer la production qui maximise le bénéfice.
Montrer que l'équation $B (q) = 30$ admet exactement deux solutions, puis encadrer chacune par trois étapes de dichotomie.
Interpréter.

Corrigé

$CM (q) = 0, 5 q^{2} - 6 q + 30 + \frac{40}{q}$ . Quand $q \to 0^{+}$ , la partie polynomiale tend vers $30$ tandis que $\frac{40}{q} \to + \infty$ ; par somme, $lim_{q \to 0^{+}} CM (q) = + \infty$ . La droite $q = 0$ est asymptote verticale : les $40$ milliers d'euros de frais fixes, répartis sur une production infime, rendent chaque unité prohibitive.

$B (q) = 24 q - (0, 5 q^{3} - 6 q^{2} + 30 q + 40) = - 0, 5 q^{3} + 6 q^{2} - 6 q - 40$ . En particulier

$B (4) = - 32 + 96 - 24 - 40 = 0.$

On factorise : $B (q) = - 0, 5 (q^{3} - 12 q^{2} + 12 q + 80)$ , et comme $4$ est racine du polynôme entre parenthèses,

$q^{3} - 12 q^{2} + 12 q + 80 = (q - 4) (q^{2} - 8 q - 20) .$

Le trinôme $q^{2} - 8 q - 20$ a pour discriminant $64 + 80 = 144$ , donc $144 = 12$ et ses racines sont $\frac{8 \pm 12}{2}$ , c'est-à-dire $10$ et $- 2$ . D'où $q^{2} - 8 q - 20 = (q - 10) (q + 2)$ et finalement

$B (q) = - 0, 5 (q - 4) (q - 10) (q + 2) .$

Sur $] 0; 12]$ le facteur $q + 2$ est strictement positif ; le signe de $B$ est celui de $- (q - 4) (q - 10)$ :

$0 < q < 4$ : $(q - 4) < 0$ et $(q - 10) < 0$ , produit positif, donc $B (q) < 0$ ;
$4 < q < 10$ : $(q - 4) > 0$ et $(q - 10) < 0$ , produit négatif, donc $B (q) > 0$ ;
$10 < q \leq 12$ : les deux facteurs sont positifs, donc $B (q) < 0$ .

L'entreprise est bénéficiaire exactement pour $q \in] 4; 10 [$ , soit entre $4000$ et $10000$ unités.

$B^{'} (q) = - 1, 5 q^{2} + 12 q - 6 = - 1, 5 (q^{2} - 8 q + 4)$ . Le trinôme a pour discriminant $64 - 16 = 48$ , et $48 = 43$ , d'où les racines $\frac{8 \pm 4 3}{2} = 4 \pm 23$ . Le coefficient $- 1, 5$ étant négatif, $B^{'} > 0$ entre les racines. Le bénéfice est donc maximal en

$q = 4 + 23 \approx 7, 46, et vaut B (4 + 23) \approx 41, 57 milliers d’euros .$

$B$ est un polynôme donc continue.

Sur $[4; 4 + 23]$ , $B$ croît strictement de $0$ à $41, 57$ , et $0 < 30 < 41, 57$ : une unique solution.
Sur $[4 + 23; 10]$ , $B$ décroît strictement de $41, 57$ à $0$ , et $0 < 30 < 41, 57$ : une unique solution.
Ailleurs sur $] 0; 12]$ , $B (q) < 0 < 30$ : aucune solution.

L'équation $B (q) = 30$ admet donc exactement deux solutions.

première solution, $B (5) = 17, 5$ et $B (6) = 32$	seconde, $B (8) = 40$ et $B (9) = 27, 5$
Étape	Intervalle	$m$	$B (m)$	Intervalle	$m$	$B (m)$
1	$[5; 6]$	$5, 5$	$25, 31$	$[8; 9]$	$8, 5$	$35, 44$
2	$[5, 5; 6]$	$5, 75$	$28, 82$	$[8, 5; 9]$	$8, 75$	$31, 91$
3	$[5, 75; 6]$	$5, 875$	$30, 45$	$[8, 75; 9]$	$8, 875$	$29, 82$

On obtient $5, 75 < q_{1} < 5, 875$ et $8, 75 < q_{2} < 8, 875$ .

Un bénéfice d'au moins $30$ milliers d'euros n'est obtenu que pour une production comprise entre environ $5800$ et $8875$ unités. « Produire toujours plus » n'est pas une stratégie : au-delà de $10000$ unités, le terme cubique du coût reprend le dessus et l'entreprise repasse dans le rouge.

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