Problème — Le seuil de rentabilité

• $\mathrm{CM}(q)=0,5q^2-6q+30+\frac{40}{q}$. Quand $q\to 0^{+}$, la partie polynomiale tend vers $30$ tandis que $\frac{40}{q}\to +\infty$ ; par somme, ${\lim }_{q\to 0^{+}}\mathrm{CM}(q)=+\infty$. La droite $q=0$ est asymptote verticale : les $40$ milliers d'euros de frais fixes, répartis sur une production infime, rendent chaque unité prohibitive.

• $B(q)=24q-\left(0,5q^3-6q^2+30q+40\right)=-0,5q^3+6q^2-6q-40$. En particulier

$$B(4)=-32+96-24-40=0.$$

On factorise : $B(q)=-0,5\left(q^3-12q^2+12q+80\right)$, et comme $4$ est racine du polynôme entre parenthèses,

$$q^3-12q^2+12q+80=(q-4)\left(q^2-8q-20\right).$$

Le trinôme $q^2-8q-20$ a pour discriminant $64+80=144$, donc $\sqrt{144}=12$ et ses racines sont $\frac{8\pm 12}{2}$, c'est-à-dire $10$ et $-2$. D'où $q^2-8q-20=(q-10)(q+2)$ et finalement

$$B(q)=-0,5(q-4)(q-10)(q+2).$$

• Sur $]0;12]$ le facteur $q+2$ est strictement positif ; le signe de $B$ est celui de $-(q-4)(q-10)$ :

• $0<q<4$ : $(q-4)<0$ et $(q-10)<0$, produit positif, donc $B(q)<0$ ;
• $4<q<10$ : $(q-4)>0$ et $(q-10)<0$, produit négatif, donc $B(q)>0$ ;
• $10<q\le 12$ : les deux facteurs sont positifs, donc $B(q)<0$.

L'entreprise est bénéficiaire exactement pour $q\in ]4;10[$, soit entre $4000$ et $10000$ unités.

• $B^{\prime }(q)=-1,5q^2+12q-6=-1,5\left(q^2-8q+4\right)$. Le trinôme a pour discriminant $64-16=48$, et $\sqrt{48}=4\sqrt{3}$, d'où les racines $\frac{8\pm 4\sqrt{3}}{2}=4\pm 2\sqrt{3}$. Le coefficient $-1,5$ étant négatif, $B^{\prime }>0$ entre les racines. Le bénéfice est donc maximal en

$$q=4+2\sqrt{3}\approx 7,46,\text{et vaut}B\left(4+2\sqrt{3}\right)\approx 41,57\text{milliers d’euros}.$$

• $B$ est un polynôme donc continue.

• Sur $\left[4;4+2\sqrt{3}\right]$, $B$ croît strictement de $0$ à $41,57$, et $0<30<41,57$ : une unique solution.
• Sur $\left[4+2\sqrt{3};10\right]$, $B$ décroît strictement de $41,57$ à $0$, et $0<30<41,57$ : une unique solution.
• Ailleurs sur $]0;12]$, $B(q)<0<30$ : aucune solution.

L'équation $B(q)=30$ admet donc exactement deux solutions.

On obtient $5,75<q_1<5,875$ et $8,75<q_2<8,875$.

• Un bénéfice d'au moins $30$ milliers d'euros n'est obtenu que pour une production comprise entre environ $5800$ et $8875$ unités. « Produire toujours plus » n'est pas une stratégie : au-delà de $10000$ unités, le terme cubique du coût reprend le dessus et l'entreprise repasse dans le rouge.