Problème — Le tassement d'un sol argileux

• $s(0)=0$ : au moment de la mise en charge, rien ne s'est encore tassé. $s(5)=\frac{6}{10}=0,6$ : $60$ cm de tassement au bout de cinq ans.

• Avec $u(t)=1,2t$ et $v(t)=t+5$, on a $u^{\prime }=1,2$ et $v^{\prime }=1$, et le dénominateur ne s'annule pas sur $[0;+\infty [$ :

$$s^{\prime }(t)=\frac{1,2(t+5)-1,2t\times 1}{(t+5{)}^2}=\frac{6}{(t+5{)}^2}>0.$$

La fonction $s$ est donc strictement croissante : le sol ne se relève jamais.

• Forme indéterminée du type $\frac{\infty }{\infty }$ ; on factorise par $t$ :

$$s(t)=\frac{1,2t}{t\left(1+\frac{5}{t}\right)}=\frac{1,2}{1+\frac{5}{t}}\underset{t\to +\infty }{\to }1,2.$$

La droite $y=1,2$ est asymptote horizontale : le tassement ultime du sol vaut $1,2$ m. C'est la valeur que l'ingénieur retient pour dimensionner l'ouvrage.

• Non. En écrivant $s(t)=1,2-\frac{6}{t+5}$, on voit que $1,2-s(t)=\frac{6}{t+5}>0$ pour tout $t\ge 0$. Le tassement s'approche de $1,2$ m sans jamais l'atteindre : le sol continue toujours, très lentement, de se tasser.

• Comme $t+5>0$ :

$$\frac{1,2t}{t+5}=1⟺1,2t=t+5⟺0,2t=5⟺t=25,$$

$$\frac{1,2t}{t+5}=1,1⟺1,2t=1,1t+5,5⟺0,1t=5,5⟺t=55.$$

Il faut $25$ ans pour atteindre $1$ m de tassement, et $30$ ans de plus pour gagner les $10$ cm suivants. L'approche de l'asymptote est de plus en plus lente : c'est la signature d'un phénomène de consolidation.

• Pour $0\le s<1,2$ :

$$s=\frac{1,2t}{t+5}⟺s(t+5)=1,2t⟺5s=t(1,2-s)⟺t=\frac{5s}{1,2-s}.$$

Le domaine de la réciproque est $[0;1,2[$, l'ensemble des tassements effectivement atteints. Vérifications : $s=1$ donne bien $t=\frac{5}{0,2}=25$ et $s=1,1$ donne $t=\frac{5,5}{0,1}=55$.

L'asymptote horizontale $y=1,2$ de $s$ devient l'asymptote verticale $s=1,2$ de sa réciproque : exiger un tassement de $1,2$ m demanderait un temps infini.