Problème — Une épidémie qui plafonne

• $p(0)=\frac{1}{1+9}=0,1$ : au premier jour de l'observation, $10\%$ de la population a déjà été touchée.

• Quand $t\to +\infty$, l'exposant $-0,5t$ tend vers $-\infty$, donc $e^{-0,5t}\to 0$ puis $9e^{-0,5t}\to 0$. Le dénominateur tend vers $1$ et

$$\underset{t\to +\infty }{\lim }p(t)=1.$$

La droite $y=1$ est asymptote horizontale : l'épidémie plafonne. Et non, $p(t)$ ne peut pas atteindre $1$ : puisque $9e^{-0,5t}>0$, le dénominateur est strictement supérieur à $1$, donc $p(t)<1$. C'est heureux — $p$ est une proportion.

• La fonction $t\mapsto 9e^{-0,5t}$ est continue et strictement décroissante, et reste strictement positive ; donc $t\mapsto 1+9e^{-0,5t}$ est continue, strictement décroissante et strictement supérieure à $1$. L'inverse d'une fonction strictement décroissante et strictement positive étant strictement croissante, $p$ est continue et strictement croissante.

• $p$ est continue et strictement croissante sur $[0;8]$, avec $p(0)=0,1$ et $p(8)\approx 0,858$. Comme $0,1<0,5<0,858$, l'équation $p(t)=0,5$ admet une unique solution $t_{50}$ sur cet intervalle.

D'où $4,25<t_{50}<4,5$ : la moitié de la population est touchée entre le quatrième et le cinquième jour.

• On constate que $t_{90}=2t_{50}$ : le temps mis pour passer de $10\%$ à $50\%$ est exactement celui mis pour passer de $50\%$ à $90\%$. La courbe logistique est symétrique par rapport à son point d'inflexion, atteint en $t_{50}$.

• L'épidémie est lente au début, brutale au milieu, lente à la fin. Comme la moitié centrale de la population est touchée en quelques jours, c'est elle qui sature les hôpitaux : agir avant $t_{50}$ est décisif, agir après revient à accompagner un mouvement déjà joué. L'asymptote $y=1$ rappelle enfin qu'en l'absence de toute intervention, ce modèle prédit que la population entière finit par être touchée.