Problème — Une épidémie qui plafonne

Application directe du cours · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 2 — Limites, continuité, valeurs intermédiaires

Énoncé

Problème — Une épidémie qui plafonne.

La proportion de la population d'une ville touchée par une épidémie est modélisée par

$p (t) = \frac{1}{1 + 9 e ^{- 0, 5 t}}, t \geq 0 (en jours) .$

Calculer $p (0)$ et interpréter.
Déterminer $t \to + \infty lim p (t)$ . Peut-on avoir $p (t) \geq 1$ ?
Justifier que $p$ est continue et strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
Montrer que l'équation $p (t) = 0, 5$ admet une unique solution $t_{50}$ , puis l'encadrer par cinq étapes de dichotomie sur $[0; 8]$ .
On admet que $t_{50} = 4 ln 3 \approx 4, 39$ et $t_{90} = 8 ln 3 \approx 8, 79$ (le chapitre suivant permettra d'établir ces valeurs). Que remarque-t-on ?
Que conclure pour la conduite d'une politique de santé publique ?

Corrigé

$p (0) = \frac{1}{1 + 9} = 0, 1$ : au premier jour de l'observation, $10 %$ de la population a déjà été touchée.

Quand $t \to + \infty$ , l'exposant $- 0, 5 t$ tend vers $- \infty$ , donc $e^{- 0, 5 t} \to 0$ puis $9 e^{- 0, 5 t} \to 0$ . Le dénominateur tend vers $1$ et

$t \to + \infty lim p (t) = 1.$

La droite $y = 1$ est asymptote horizontale : l'épidémie plafonne. Et non, $p (t)$ ne peut pas atteindre $1$ : puisque $9 e^{- 0, 5 t} > 0$ , le dénominateur est strictement supérieur à $1$ , donc $p (t) < 1$ . C'est heureux — $p$ est une proportion.

La fonction $t \mapsto 9 e^{- 0, 5 t}$ est continue et strictement décroissante, et reste strictement positive ; donc $t \mapsto 1 + 9 e^{- 0, 5 t}$ est continue, strictement décroissante et strictement supérieure à $1$ . L'inverse d'une fonction strictement décroissante et strictement positive étant strictement croissante, $p$ est continue et strictement croissante.

$p$ est continue et strictement croissante sur $[0; 8]$ , avec $p (0) = 0, 1$ et $p (8) \approx 0, 858$ . Comme $0, 1 < 0, 5 < 0, 858$ , l'équation $p (t) = 0, 5$ admet une unique solution $t_{50}$ sur cet intervalle.

Étape	Intervalle	Milieu $m$	$p (m)$	Moitié conservée
1	$[0; 8]$	$4$	$0, 451 < 0, 5$	$[4; 8]$
2	$[4; 8]$	$6$	$0, 691 > 0, 5$	$[4; 6]$
3	$[4; 6]$	$5$	$0, 575 > 0, 5$	$[4; 5]$
4	$[4; 5]$	$4, 5$	$0, 513 > 0, 5$	$[4; 4, 5]$
5	$[4; 4, 5]$	$4, 25$	$0, 482 < 0, 5$	$[4, 25; 4, 5]$

D'où $4, 25 < t_{50} < 4, 5$ : la moitié de la population est touchée entre le quatrième et le cinquième jour.

On constate que $t_{90} = 2 t_{50}$ : le temps mis pour passer de $10 %$ à $50 %$ est exactement celui mis pour passer de $50 %$ à $90 %$ . La courbe logistique est symétrique par rapport à son point d'inflexion, atteint en $t_{50}$ .

L'épidémie est lente au début, brutale au milieu, lente à la fin. Comme la moitié centrale de la population est touchée en quelques jours, c'est elle qui sature les hôpitaux : agir avant $t_{50}$ est décisif, agir après revient à accompagner un mouvement déjà joué. L'asymptote $y = 1$ rappelle enfin qu'en l'absence de toute intervention, ce modèle prédit que la population entière finit par être touchée.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.