Remonter de la concentration à la dose

• Réécriture : $\frac{4d}{d+3}=\frac{4(d+3)-12}{d+3}=4-\frac{12}{d+3}$. Sur $[0;+\infty [$, la fonction $d\mapsto d+3$ est strictement croissante et strictement positive, donc $d\mapsto \frac{12}{d+3}$ est strictement décroissante, et son opposée strictement croissante. Ainsi $f$ est strictement croissante. (On pourrait aussi calculer $f^{\prime }(d)=\frac{12}{(d+3{)}^2}>0$.)

• $f$ est continue et strictement croissante, avec $f(0)=0$ et ${\lim }_{d\to +\infty }f(d)=4$ (asymptote horizontale $y=4$). Les concentrations atteintes sont donc exactement celles de $[0;4[$ : la valeur $4$ n'est jamais atteinte, et aucune concentration supérieure n'est accessible, quelle que soit la dose.

• Résolution pour $0\le C<4$ :

$$C=\frac{4d}{d+3}⟺C(d+3)=4d⟺3C=d(4-C)⟺d=\frac{3C}{4-C}.$$

Comme $C<4$, le dénominateur est strictement positif : la formule a bien un sens, et

$$f^{-1}(C)=\frac{3C}{4-C},C\in [0;4[.$$

• $f^{-1}(2)=\frac{6}{2}=3$ mg. Vérification : $f(3)=\frac{12}{6}=2$, ce qui confirme la dose.

• Quand $C\to 4^{-}$, le dénominateur $4-C$ tend vers $0^{+}$ et le numérateur vers $12$, donc $f^{-1}(C)\to +\infty$. L'asymptote horizontale $y=4$ de $f$ est devenue l'asymptote verticale $x=4$ de $f^{-1}$ : la symétrie par rapport à la droite $y=x$ échange les deux types d'asymptote.

Concrètement : viser une concentration proche de $4$ exigerait des doses arbitrairement grandes. La réciproque traduit la saturation dans le langage du prescripteur.