Remonter de la concentration à la dose — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 2)

Remonter de la concentration à la dose

Limites, continuité, valeurs intermédiaires · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Remonter de la concentration à la dose.

Reprenons le modèle de saturation du cours : une dose $d$ , en mg, produit dans le sang la concentration

$f (d) = \frac{4 d}{d + 3}, d \geq 0 (en mg \cdot L^{- 1}) .$

Montrer que $f (d) = 4 - \frac{12}{d + 3}$ , puis que $f$ est strictement croissante sur $[0; + \infty [$ .
Quelles concentrations sont effectivement atteintes ?
Exprimer $d$ en fonction de la concentration $C$ : c'est la fonction réciproque $f^{- 1}$ .
Un dosage sanguin relève $C = 2$ . Quelle dose a été administrée ?
Que devient l'asymptote horizontale de $f$ pour la courbe de $f^{- 1}$ ?

Corrigé

Réécriture : $\frac{4 d}{d + 3} = \frac{4 ( d + 3 ) - 12}{d + 3} = 4 - \frac{12}{d + 3}$ . Sur $[0; + \infty [$ , la fonction $d \mapsto d + 3$ est strictement croissante et strictement positive, donc $d \mapsto \frac{12}{d + 3}$ est strictement décroissante, et son opposée strictement croissante. Ainsi $f$ est strictement croissante. (On pourrait aussi calculer $f^{'} (d) = \frac{12}{( d + 3 ) ^{2}} > 0$ .)

$f$ est continue et strictement croissante, avec $f (0) = 0$ et $lim_{d \to + \infty} f (d) = 4$ (asymptote horizontale $y = 4$ ). Les concentrations atteintes sont donc exactement celles de $[0; 4 [$ : la valeur $4$ n'est jamais atteinte, et aucune concentration supérieure n'est accessible, quelle que soit la dose.

Résolution pour $0 \leq C < 4$ :

$C = \frac{4 d}{d + 3} ⟺ C (d + 3) = 4 d ⟺ 3 C = d (4 - C) ⟺ d = \frac{3 C}{4 - C} .$

Comme $C < 4$ , le dénominateur est strictement positif : la formule a bien un sens, et

$f^{- 1} (C) = \frac{3 C}{4 - C}, C \in [0; 4 [.$

$f^{- 1} (2) = \frac{6}{2} = 3$ mg. Vérification : $f (3) = \frac{12}{6} = 2$ , ce qui confirme la dose.

Quand $C \to 4^{-}$ , le dénominateur $4 - C$ tend vers $0^{+}$ et le numérateur vers $12$ , donc $f^{- 1} (C) \to + \infty$ . L'asymptote horizontale $y = 4$ de $f$ est devenue l'asymptote verticale $x = 4$ de $f^{- 1}$ : la symétrie par rapport à la droite $y = x$ échange les deux types d'asymptote.

Concrètement : viser une concentration proche de $4$ exigerait des doses arbitrairement grandes. La réciproque traduit la saturation dans le langage du prescripteur.