Un barème qui ne saute pas

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 2 — Limites, continuité, valeurs intermédiaires

Énoncé

Un barème qui ne saute pas.

Une régie des eaux facture le mètre cube $2, 10$ euros jusqu'à $120$ m $^{3}$ par an, puis $1, 60$ euro au-delà, en ajoutant une part fixe $b$ . La facture annuelle, en euros, pour une consommation de $x$ m $^{3}$ , est donc

$T (x) = {2, 10 x 1, 60 x + b si 0 \leq x \leq 120, si x > 120.$

Pourquoi la régie doit-elle exiger que $T$ soit continue en $120$ ?
Déterminer $b$ .
Calculer la facture d'un abonné consommant $200$ m $^{3}$ .

Corrigé

Une exigence d'équité : si $T$ « sautait » en $120$ , deux abonnés dont les consommations diffèrent d'un litre paieraient des sommes nettement différentes, et il deviendrait avantageux de gaspiller pour franchir le seuil. Exiger la continuité, c'est exiger que le barème se trace sans lever le crayon.

Sur chacun des deux morceaux, $T$ est affine, donc continue : le seul point à examiner est le raccord en $120$ .

la première expression donne $2, 10 \times 120 = 252$ ;
la seconde donne $1, 60 \times 120 + b = 192 + b$ .

La continuité impose que les deux valeurs coïncident :

$192 + b = 252 ⟺ b = 60.$

Avec $b = 60$ : $T (200) = 1, 60 \times 200 + 60 = 320 + 60 = 380$ euros.

Attention : la fonction obtenue est continue, mais elle présente un point anguleux en $120$ — la pente y passe de $2, 10$ à $1, 60$ . Continue ne veut pas dire lisse.

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