Un taux d'équipement à long terme

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 2 — Limites, continuité, valeurs intermédiaires

Énoncé

Un taux d'équipement à long terme.

Un service numérique est lancé dans une région. $t$ années après le lancement, on modélise le nombre d'utilisateurs et la population, tous deux en milliers, par

$U (t) = 2 t^{2} + 5 t + 3 et P (t) = 5 t^{2} + 40, t \geq 0.$

Le taux d'équipement est $R (t) = \frac{U ( t )}{P ( t )}$ .

Calculer $R (0)$ et interpréter.
Déterminer $t \to + \infty lim R (t)$ .
Interpréter le résultat en termes de diffusion du service.

Corrigé

$R (0) = \frac{3}{40} = 0, 075$ : au lancement, $7, 5 %$ de la population utilise le service.

Numérateur et dénominateur tendent tous deux vers $+ \infty$ : c'est une forme indéterminée du type \mbox{ $\frac{\infty}{\infty}$ }. On factorise haut et bas par le terme de plus haut degré, ici $t^{2}$ :

$R (t) = \frac{t ^{2} ( 2 + \frac{5}{t} + \frac{3}{t ^{2}} )}{t ^{2} ( 5 + \frac{40}{t ^{2}} )} = \frac{2 + \frac{5}{t} + \frac{3}{t ^{2}}}{5 + \frac{40}{t ^{2}}} .$

Chacune des fractions $\frac{5}{t}$ , $\frac{3}{t ^{2}}$ et $\frac{40}{t ^{2}}$ tend vers $0$ , donc

$t \to + \infty lim R (t) = \frac{2}{5} = 0, 4.$

La droite $y = 0, 4$ est asymptote horizontale. Le modèle prévoit un plafond de $40 %$ : le service ne conquiert pas toute la population. Un calcul de valeurs montre d'ailleurs que le taux passe par un maximum voisin de $47, 8 %$ vers la sixième année, puis redescend lentement vers $40 %$ — la population croît alors plus vite que le nombre d'utilisateurs.

Seuls les coefficients de plus haut degré comptent à long terme : ici $\frac{2}{5}$ , et rien d'autre.

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