Domaines de définition, intervalles ou non — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 20)

Domaines de définition, intervalles ou non

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 1 (application)

Énoncé

Domaines de définition, intervalles ou non.

Écrire l'ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes, rencontrées dans les chapitres 3, 4 et 6, et dire si c'est un intervalle.

$h (x) = ln (2 x + 1)$ ;
$g (x) = \frac{1}{x}$ ;
$u (t) = e^{- 0, 4 t}$ ;
$v (x) = ln (x) + \frac{1}{x - 3}$ .

Corrigé

$ln$ n'accepte que des nombres strictement positifs : il faut $2 x + 1 > 0$ , c'est-à-dire $x > - \frac{1}{2}$ . Donc $D_{h} =] - \frac{1}{2}; + \infty [$ , qui est un intervalle. C'est bien l'ensemble annoncé au chapitre 5 exercice 1.
Il faut $x \neq = 0$ , donc $D_{g} = R ∖ {0} =] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ : ce n'est pas un intervalle, puisque $- 1$ et $1$ y sont mais pas $0$ .
L'exponentielle est définie sur $R$ tout entier : $D_{u} = R$ , qui est un intervalle.
Il faut $x > 0$ et $x \neq = 3$ — un « et » entre deux conditions, donc une intersection. Ainsi $D_{v} =] 0; 3 [\cup] 3; + \infty [$ : ce n'est pas un intervalle.

Les cas 2 et 4 sont ceux où il faut se méfier : le théorème « dérivée nulle sur un intervalle $\Rightarrow$ fonction constante » (chapitre 4) et le théorème « deux primitives diffèrent d'une constante » (chapitre 6) ne s'y appliquent que sur chaque morceau pris séparément.