Implication, réciproque, équivalence

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 20 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Implication, réciproque, équivalence.

Pour chacun des énoncés du livre ci-dessous, dire s'il s'agit d'une implication ou d'une équivalence ; dans le premier cas, écrire la réciproque et dire si elle est vraie.

« Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ , alors $f$ est continue sur $I$ . » (chapitre 2)
« $f$ est convexe sur $I$ si et seulement si $f^{''} \geq 0$ sur $I$ . » (chapitre 5)
« Si $f$ est continue sur $[a, b]$ et si $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , alors $f (x) = k$ a au moins une solution dans $[a, b]$ . » (chapitre 2)
« $∣ r ∣ = 1$ si et seulement si les points du nuage sont alignés. » (chapitre 10)

Corrigé

Implication. Réciproque : « si $f$ est continue sur $I$ , alors $f$ est dérivable sur $I$ ». Elle est fausse : une courbe continue peut présenter un point anguleux, où il n'y a pas de tangente unique et donc pas de nombre dérivé. La dérivabilité est une condition suffisante de continuité, pas nécessaire.
Équivalence : « si et seulement si » l'annonce, et le chapitre 5 donne trois propositions équivalentes entre elles. Elles sont admises par le programme.
Implication. L'hypothèse est un « et » de deux conditions ; la conclusion est une existence. Réciproque : « si $f (x) = k$ a au moins une solution dans $[a, b]$ , alors $f$ est continue et $k$ est compris entre $f (a)$ et $f (b)$ ». Elle est fausse deux fois : une fonction non continue peut prendre la valeur $k$ , et une fonction continue peut prendre une valeur $k$ située en dehors de l'intervalle d'extrémités $f (a)$ et $f (b)$ — il suffit qu'elle sorte de cet intervalle entre $a$ et $b$ , comme la courbe de la figure du chapitre 2.
Équivalence, et la démonstration du livre fait bien les deux sens : le cas d'égalité $Δ = 0$ dans un sens, l'annulation de tous les résidus dans l'autre.

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