Lire et écrire des quantifications, et un Σ — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 20)

Lire et écrire des quantifications, et un

Σ

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 2

Énoncé

Lire et écrire des quantifications, et un $Σ$ .

Rétablir la quantification implicite : (a) « $e^{x} \geq x + 1$ » ; (b) « $ln x \leq x - 1$ » ; (c) « $- 1 \leq r \leq 1$ ».
Écrire en français, avec « pour tout » et « il existe », l'énoncé du théorème du chapitre 2 sur l'unicité de la solution.
Traduire en une phrase française : $\sum_{i = 1}^{4} p_{i} = 1$ .
Écrire avec le symbole $Σ$ , puis calculer, la moyenne des cinq tailles $86$ , $103$ , $116$ , $128$ , $139$ relevées par le pédiatre sur ses cinq jeunes patients.

(a) « Pour tout réel $x$ , $e^{x} \geq x + 1$ » ; (b) « pour tout $x > 0$ , $ln x \leq x - 1$ » — le domaine fait partie de la quantification ; (c) « pour toute série statistique double dont les $x_{i}$ ne sont pas tous égaux, le coefficient de corrélation vérifie $- 1 \leq r \leq 1$ ».
« Si $f$ est continue et strictement monotone sur $[a, b]$ , alors pour tout réel $k$ compris entre $f (a)$ et $f (b)$ , il existe exactement un réel $x$ de $[a, b]$ tel que $f (x) = k$ . » Le « il existe » vient du théorème des valeurs intermédiaires ; c'est la stricte monotonie qui transforme « au moins un » en « exactement un ».
« La somme des quatre probabilités $p_{1}, p_{2}, p_{3}, p_{4}$ vaut $1$ . » C'est la condition qui fait d'un tableau une loi de probabilité (chapitre 8).
En notant $y_{1}, \dots, y_{5}$ les cinq tailles :

$y ˉ = \frac{1}{5} i = 1 \sum 5 y_{i} = \frac{86 + 103 + 116 + 128 + 139}{5} = \frac{572}{5} = 114, 4.$

Le $Σ$ a servi à écrire la formule générale ; le calcul, lui, s'est fait terme à terme, comme le programme le prévoit.