Problème — Convexité — une équivalence, et une implication à sens unique

• Six implications au total si l'on procède naïvement (de chacune des trois vers chacune des deux autres), ou trois si l'on procède en boucle : (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Rightarrow$ (i). Le programme ne les demande pas : il admet l'équivalence, et le chapitre 5 le signale explicitement. Ce qu'on doit retenir, c'est qu'une équivalence à trois termes n'est pas une évidence : trois formulations très différentes — deux géométriques, une analytique — décrivent la même propriété.

• Deux dérivations :

$$g^{\prime }(x)=4x^3-12x^2+12x\text{puis}{g}^{\prime \prime }(x)=12x^2-24x+12=12(x-1{)}^2.$$

Un carré est positif ou nul, donc l'énoncé démontré est : « pour tout réel $x$, $g^{\prime \prime }(x)\ge 0$ ». D'après la caractérisation (iii) $\Rightarrow$ (i), $g$ est convexe sur $\mathbb{R}$.

• Réciproque : « si $g^{\prime \prime }(a)=0$, alors la courbe de $g$ admet un point d'inflexion en $a$ ». Elle est fausse, et $a=1$ le montre : $g^{\prime \prime }(1)=12\times 0=0$, mais $g^{\prime \prime }$ reste positive de part et d'autre de $1$, donc la convexité ne change pas et il n'y a pas d'inflexion. L'annulation de $g^{\prime \prime }$ est une condition nécessaire, jamais suffisante.

• Équivalence correcte : « la courbe admet un point d'inflexion en $a$ $⟺$ $g^{\prime \prime }$ s'annule en $a$ en changeant de signe ». La différence tient dans les quatre derniers mots : « $g^{\prime \prime }(a)=0$ » est une condition sur la seule valeur en $a$, tandis que le changement de signe est une condition sur ce qui se passe autour de $a$. C'est la même distinction qu'entre « $f^{\prime }(a)=0$ » et « $f$ admet un extremum en $a$ ».

• Étude de $f$. On a

$$f^{\prime }(x)=3x^2-12x+9\text{puis}{f}^{\prime \prime }(x)=6x-12=6(x-2).$$

Donc $f^{\prime \prime }(x)<0$ si et seulement si $x<2$, et $f^{\prime \prime }(x)>0$ si et seulement si $x>2$ — ce sont bien des équivalences, puisqu'on résout une inéquation du premier degré en divisant par $6>0$. Par la caractérisation admise, $f$ est concave sur $]-\infty ;2]$ et convexe sur $[2;+\infty [$. Enfin $f^{\prime \prime }$ s'annule en $2$ en changeant de signe, donc, par l'équivalence de la question 4, la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $2$ ; son ordonnée vaut $f(2)=8-24+18+2=4$. Le point d'inflexion est $I(2;4)$.

Une même page de cours contient donc les deux régimes : une équivalence admise, qu'on utilise dans les deux sens sans y penser, et une implication dont la réciproque est fausse, qu'il faut manier avec précaution.