Problème — Convexité — une équivalence, et une implication à sens unique

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 20 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Problème — Convexité — une équivalence, et une implication à sens unique.

Le chapitre 5 énonce que, pour $f$ deux fois dérivable sur un intervalle $I$ , les trois propositions suivantes sont équivalentes : (i) $f$ est convexe sur $I$ ; (ii) la courbe de $f$ est au-dessus de chacune de ses tangentes ; (iii) $f^{''} \geq 0$ sur $I$ . Il énonce par ailleurs que la courbe admet un point d'inflexion en $a$ si et seulement si $f^{''}$ s'annule en changeant de signe en $a$ .

Combien d'implications faudrait-il démontrer pour établir l'équivalence des trois propositions ? Le programme les demande-t-il ?
Soit $g (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2}$ sur $R$ . Montrer que $g$ est convexe sur $R$ , et écrire proprement, avec un « pour tout », l'énoncé démontré.
L'implication « la courbe de $g$ admet un point d'inflexion en $a$ $\Rightarrow$ $g^{''} (a) = 0$ » est vraie. Écrire sa réciproque et la réfuter à l'aide de la question précédente.
Écrire, sous forme d'une équivalence, la condition exacte d'existence d'un point d'inflexion, et dire en quoi elle diffère de « $g^{''} (a) = 0$ ».
Soit $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 2$ . Déterminer les intervalles de convexité et le point d'inflexion, en rédigeant chaque étape avec le bon connecteur.

Corrigé

Six implications au total si l'on procède naïvement (de chacune des trois vers chacune des deux autres), ou trois si l'on procède en boucle : (i) $\Rightarrow$ (ii) $\Rightarrow$ (iii) $\Rightarrow$ (i). Le programme ne les demande pas : il admet l'équivalence, et le chapitre 5 le signale explicitement. Ce qu'on doit retenir, c'est qu'une équivalence à trois termes n'est pas une évidence : trois formulations très différentes — deux géométriques, une analytique — décrivent la même propriété.

Deux dérivations :

$g^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} + 12 x puis g^{''} (x) = 12 x^{2} - 24 x + 12 = 12 (x - 1)^{2} .$

Un carré est positif ou nul, donc l'énoncé démontré est : « pour tout réel $x$ , $g^{''} (x) \geq 0$ ». D'après la caractérisation (iii) $\Rightarrow$ (i), $g$ est convexe sur $R$ .

Réciproque : « si $g^{''} (a) = 0$ , alors la courbe de $g$ admet un point d'inflexion en $a$ ». Elle est fausse, et $a = 1$ le montre : $g^{''} (1) = 12 \times 0 = 0$ , mais $g^{''}$ reste positive de part et d'autre de $1$ , donc la convexité ne change pas et il n'y a pas d'inflexion. L'annulation de $g^{''}$ est une condition nécessaire, jamais suffisante.

Équivalence correcte : « la courbe admet un point d'inflexion en $a$ $⟺$ $g^{''}$ s'annule en $a$ en changeant de signe ». La différence tient dans les quatre derniers mots : « $g^{''} (a) = 0$ » est une condition sur la seule valeur en $a$ , tandis que le changement de signe est une condition sur ce qui se passe autour de $a$ . C'est la même distinction qu'entre « $f^{'} (a) = 0$ » et « $f$ admet un extremum en $a$ ».

Étude de $f$ . On a

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 puis f^{''} (x) = 6 x - 12 = 6 (x - 2) .$

Donc $f^{''} (x) < 0$ si et seulement si $x < 2$ , et $f^{''} (x) > 0$ si et seulement si $x > 2$ — ce sont bien des équivalences, puisqu'on résout une inéquation du premier degré en divisant par $6 > 0$ . Par la caractérisation admise, $f$ est concave sur $] - \infty; 2]$ et convexe sur $[2; + \infty [$ . Enfin $f^{''}$ s'annule en $2$ en changeant de signe, donc, par l'équivalence de la question 4, la courbe admet un point d'inflexion d'abscisse $2$ ; son ordonnée vaut $f (2) = 8 - 24 + 18 + 2 = 4$ . Le point d'inflexion est $I (2; 4)$ .

Une même page de cours contient donc les deux régimes : une équivalence admise, qu'on utilise dans les deux sens sans y penser, et une implication dont la réciproque est fausse, qu'il faut manier avec précaution.

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