Problème — L'absence de mémoire, quantificateur par quantificateur

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 20 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Problème — L'absence de mémoire, quantificateur par quantificateur.

Le chapitre 9 énonce : « Si $T$ suit une loi exponentielle, alors pour tous $a \geq 0$ et $s \geq 0$ , $P_{(T > a)} (T > a + s) = P (T > s)$ . » Le chapitre 18 énonce de son côté : « La loi de $X$ est géométrique si et seulement si son taux de panne est constant. »

Dans le premier énoncé, repérer l'hypothèse, la conclusion, et les quantifications. Sur combien de variables porte la quantification ?
Reprendre la démonstration du livre et indiquer où sert l'inclusion $(T > a + s) \subset (T > a)$ .
Écrire ce que signifierait « cette loi n'est pas sans mémoire », comme lecture de la négation d'un « pour tout ».
Le second énoncé est une équivalence : décrire la structure de sa démonstration dans le livre.
Le chapitre 9 avertit : « l'absence de mémoire est une propriété du modèle, pas une loi de la nature ». Formuler cet avertissement comme une implication et préciser ce que serait sa réciproque.

Corrigé

Structure. L'hypothèse est « $T$ suit une loi exponentielle » ; la conclusion est l'égalité des deux probabilités. Cette conclusion est elle-même quantifiée universellement : « pour tous $a \geq 0$ et $s \geq 0$ ». La quantification porte donc sur deux variables à la fois, chacune décrivant $[0; + \infty [$ . C'est cette double généralité qui donne à la propriété toute sa force : elle vaut quel que soit l'âge déjà atteint et quelle que soit la durée supplémentaire envisagée.

Où sert l'inclusion. La définition d'une probabilité conditionnelle donne

$P_{(T > a)} (T > a + s) = \frac{P ( ( T > a + s ) \cap ( T > a ) )}{P ( T > a )} .$

L'inclusion $(T > a + s) \subset (T > a)$ permet alors de remplacer l'intersection par le plus petit des deux ensembles : $(T > a + s) \cap (T > a) = (T > a + s)$ . Le numérateur devient $P (T > a + s) = e^{- λ (a + s)}$ , et le quotient $\frac{e ^{- λ (a + s)}}{e ^{- λa}} = e^{- λ s} = P (T > s)$ . Sans l'inclusion, on ne saurait pas simplifier l'intersection.

Lecture de la négation. Nier « pour tous $a$ et $s$ , l'égalité a lieu » ne donne pas « pour tous $a$ et $s$ , elle est fausse », mais « il existe au moins un couple $(a; s)$ pour lequel $P_{(T > a)} (T > a + s) \neq = P (T > s)$ ». Autrement dit, il suffit d'un seul âge $a$ et d'une seule durée $s$ pour lesquels le pronostic change : un contre-exemple. C'est très exactement ce que fait le chapitre 18 en comparant, âge par âge, le taux de panne d'une pièce d'usure — il grimpe, alors qu'il resterait constant s'il n'y avait pas de mémoire.

Structure de la démonstration d'une équivalence. Le livre démontre d'abord un sens : si le taux de panne est constant égal à $p$ , alors $P (X > n) = (1 - p)^{n}$ , ce qui est la loi géométrique. Puis il écrit le mot « Réciproquement » et démontre l'autre : si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$ , alors $p_{n} = 1 - \frac{( 1 - p ) ^{n}}{( 1 - p ) ^{n - 1}} = p$ pour tout $n$ . Les deux implications étant établies, l'équivalence l'est. Le mot « réciproquement » est le signal, dans une copie, qu'on attaque le second sens.

Formulation. L'avertissement s'écrit : « si l'on modélise une durée de vie par une loi exponentielle, alors on affirme qu'il n'y a pas d'usure ». La réciproque serait : « si un composant ne s'use pas, alors sa durée de vie suit une loi exponentielle » — et c'est précisément ce que le chapitre 18 démontre dans le cas discret, en établissant l'équivalence « géométrique $⟺$ taux de panne constant ». La différence de statut est importante : la première implication est un engagement qu'on prend en choisissant le modèle, la seconde est un théorème.

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