Problème — L'absence de mémoire, quantificateur par quantificateur

• Structure. L'hypothèse est « $T$ suit une loi exponentielle » ; la conclusion est l'égalité des deux probabilités. Cette conclusion est elle-même quantifiée universellement : « pour tous $a\ge 0$ et $s\ge 0$ ». La quantification porte donc sur deux variables à la fois, chacune décrivant $[0;+\infty [$. C'est cette double généralité qui donne à la propriété toute sa force : elle vaut quel que soit l'âge déjà atteint et quelle que soit la durée supplémentaire envisagée.

• Où sert l'inclusion. La définition d'une probabilité conditionnelle donne

$$P_{(T>a)}(T>a+s)=\frac{P((T>a+s)\cap (T>a))}{P(T>a)}.$$

L'inclusion $(T>a+s)\subset (T>a)$ permet alors de remplacer l'intersection par le plus petit des deux ensembles : $(T>a+s)\cap (T>a)=(T>a+s)$. Le numérateur devient $P(T>a+s)=e^{-\lambda (a+s)}$, et le quotient $\frac{e^{-\lambda (a+s)}}{e^{-\lambda a}}=e^{-\lambda s}=P(T>s)$. Sans l'inclusion, on ne saurait pas simplifier l'intersection.

• Lecture de la négation. Nier « pour tous $a$ et $s$, l'égalité a lieu » ne donne pas « pour tous $a$ et $s$, elle est fausse », mais « il existe au moins un couple $(a;s)$ pour lequel $P_{(T>a)}(T>a+s)\ne P(T>s)$ ». Autrement dit, il suffit d'un seul âge $a$ et d'une seule durée $s$ pour lesquels le pronostic change : un contre-exemple. C'est très exactement ce que fait le chapitre 18 en comparant, âge par âge, le taux de panne d'une pièce d'usure — il grimpe, alors qu'il resterait constant s'il n'y avait pas de mémoire.

• Structure de la démonstration d'une équivalence. Le livre démontre d'abord un sens : si le taux de panne est constant égal à $p$, alors $P(X>n)=(1-p{)}^n$, ce qui est la loi géométrique. Puis il écrit le mot « Réciproquement » et démontre l'autre : si $X$ suit la loi géométrique de paramètre $p$, alors $p_n=1-\frac{(1-p{)}^n}{(1-p{)}^{n-1}}=p$ pour tout $n$. Les deux implications étant établies, l'équivalence l'est. Le mot « réciproquement » est le signal, dans une copie, qu'on attaque le second sens.

• Formulation. L'avertissement s'écrit : « si l'on modélise une durée de vie par une loi exponentielle, alors on affirme qu'il n'y a pas d'usure ». La réciproque serait : « si un composant ne s'use pas, alors sa durée de vie suit une loi exponentielle » — et c'est précisément ce que le chapitre 18 démontre dans le cas discret, en établissant l'équivalence « géométrique $⟺$ taux de panne constant ». La différence de statut est importante : la première implication est un engagement qu'on prend en choisissant le modèle, la seconde est un théorème.