Problème — Le théorème des valeurs intermédiaires, mot à mot

• Hypothèse et conclusion. L'hypothèse est : « $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ». Elle comporte deux conditions reliées par un « et » : les deux sont nécessaires, et retirer l'une détruit la conclusion. La conclusion est : « l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a,b]$ ».

• Quantifications. On lit d'abord une quantification universelle : « pour tout réel $k$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ». On lit ensuite, cachée derrière les mots « admet au moins une solution », une quantification existentielle : « il existe $x$ de $[a,b]$ tel que $f(x)=k$ ». L'ordre compte : on se donne $k$ d'abord, et la solution $x$ trouvée ensuite dépend de $k$.

• Réciproque. Elle s'énonce : « si l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution dans $[a,b]$, alors $f$ est continue sur $[a,b]$ et $k$ est compris entre $f(a)$ et $f(b)$ ». Elle est fausse. Un contre-exemple suffit : prenons $f(x)=x^2$ sur $[-1;1]$ et $k=1$. L'équation $x^2=1$ a bien des solutions dans $[-1;1]$, à savoir $-1$ et $1$. Pourtant $f(-1)=f(1)=1$, si bien que le seul réel « compris entre $f(a)$ et $f(b)$ » est $1$ lui-même ; en revanche, la même fonction prend la valeur $k^{\prime }=0,25$ en $x=0,5$, alors que $0,25$ n'est pas compris entre $f(-1)=1$ et $f(1)=1$. Une équation peut donc avoir des solutions sans que la seconde condition de l'hypothèse soit remplie : la conclusion n'entraîne pas l'hypothèse.

• Non. Le second énoncé n'échange pas hypothèse et conclusion : il ajoute une hypothèse (la stricte monotonie) et renforce la conclusion (« au moins une » devient « exactement une »). Ce n'est donc ni la réciproque, ni une équivalence, mais un second théorème, plus exigeant des deux côtés.

• Rédaction. La fonction $C$ est continue sur $[0;+\infty [$, comme composée de fonctions continues, et strictement décroissante. On a $C(0)=5$ et $C(t)\to 0$ quand $t\to +\infty$ ; or $3$ est compris entre $0$ et $5$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $C(t)=3$ admet au moins une solution ; comme $C$ est de plus strictement décroissante, cette solution est unique. Il y a donc exactement une solution. On peut ici la calculer :

$$5e^{-0,4t}=3⟺e^{-0,4t}=0,6⟺-0,4t=\ln 0,6⟺t=\frac{\ln 0,6}{-0,4}\approx 1,28.$$

Les trois équivalences sont légitimes : la seconde parce que $\ln$ est la réciproque de l'exponentielle (chapitre 3), la troisième parce qu'on divise par une constante non nulle.

Ce problème résume la démarche du livre : un théorème est une implication, ses hypothèses sont reliées par des « et », sa conclusion est souvent une existence, et l'unicité ne s'obtient jamais gratuitement.