Problème — Rédiger une inférence bayésienne en langage ensembliste

Application directe du cours · niveau 1 (application) · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 20 — Vocabulaire ensembliste et logique

Énoncé

Problème — Rédiger une inférence bayésienne en langage ensembliste.

Un test de dépistage porte sur une maladie touchant $1 %$ de la population. Il détecte $99 %$ des malades et se trompe sur $5 %$ des personnes saines. On note $M$ l'événement « la personne est malade » et $T$ l'événement « le test est positif ».

Traduire les trois données de l'énoncé en écritures de probabilité.
Écrire la partition de l'univers utilisée, et exprimer $T$ comme réunion de deux événements incompatibles.
Calculer $P (T)$ par la formule des probabilités totales.
Calculer $P_{T} (M)$ , et commenter l'écart avec $P_{M} (T)$ .
Écrire en français, sans aucun symbole, les deux propositions $P_{M} (T)$ et $P_{T} (M)$ , et expliquer pourquoi les confondre est une erreur de logique et non de calcul.

Corrigé

Traduction. « La maladie touche $1 %$ » donne $P (M) = 0, 01$ . « Le test détecte $99 %$ des malades » est une probabilité conditionnelle sachant $M$ : $P_{M} (T) = 0, 99$ . « Il se trompe sur $5 %$ des personnes saines » est conditionnelle sachant $M$ : $P_{M} (T) = 0, 05$ . On en déduit $P (M) = 1 - 0, 01 = 0, 99$ .

Partition. On a $M \cap M = \emptyset$ et $M \cup M = E$ : ${M; M}$ est une partition de l'univers. Il en résulte

$T = (T \cap M) \cup (T \cap M) avec (T \cap M) \cap (T \cap M) = \emptyset .$

Un test positif provient soit d'un malade, soit d'une personne saine, et jamais des deux à la fois.

Probabilités totales, qui n'est que la traduction en probabilités de la réunion disjointe précédente :

$P (T) = P (M) P_{M} (T) + P (M) P_{M} (T) = 0, 01 \times 0, 99 + 0, 99 \times 0, 05.$

Soit $P (T) = 0, 0099 + 0, 0495 = 0, 0594$ .

Retournement du conditionnement. Par définition de la probabilité conditionnelle, et parce que $P (M \cap T) = P (M) P_{M} (T)$ :

$P_{T} (M) = \frac{P ( M \cap T )}{P ( T )} = \frac{0 , 0099}{0 , 0594} \approx 0, 167.$

L'écart est spectaculaire : $P_{M} (T) = 0, 99$ mais $P_{T} (M) \approx 0, 17$ . Moins d'un test positif sur six correspond à un malade, parce que les personnes saines sont cent fois plus nombreuses et que $5 %$ d'un très grand groupe pèse plus que $99 %$ d'un très petit.

En français. $P_{M} (T)$ est « la probabilité que le test soit positif sachant que la personne est malade », c'est-à-dire la performance du test. $P_{T} (M)$ est « la probabilité que la personne soit malade sachant que le test est positif », c'est-à-dire ce que le patient veut savoir. L'événement conditionnant n'est pas le même : dans un cas on se restreint à la partie $M$ de l'univers, dans l'autre à la partie $T$ . Prendre l'un pour l'autre revient à confondre une implication avec sa réciproque : « malade donc test positif » n'est pas « test positif donc malade ». L'erreur ne porte pas sur les nombres — elle porte sur le sens de la flèche.

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