Réfuter par un contre-exemple — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 20)

Réfuter par un contre-exemple

Vocabulaire ensembliste et logique · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Réfuter par un contre-exemple.

Chacune des quatre affirmations suivantes est fausse. Donner pour chacune un contre-exemple pris dans le livre.

« Si $f^{''} (a) = 0$ , la courbe de $f$ admet un point d'inflexion en $a$ . »
« Une suite croissante tend vers $+ \infty$ . »
« Si $∣ r ∣ \geq 0, 8$ , le nuage de points est bien ajusté par une droite. »
« Si $f^{'}$ est nulle sur tout son ensemble de définition, $f$ est constante. »

Contre-exemple $f (x) = x^{4}$ en $a = 0$ : $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ donc $f^{''} (0) = 0$ , mais $f^{''}$ reste positive de part et d'autre. La fonction est convexe partout : aucun changement de convexité, donc aucun point d'inflexion (chapitre 5).
Contre-exemple : la suite du chapitre 1 définie par $u_{n + 1} = 0, 8 u_{n} + 60$ avec $u_{0} = 100$ est croissante et converge vers $300$ ; elle est même majorée par $300$ . Plus simplement, $u_{n} = 1 - \frac{1}{n + 1}$ est croissante et tend vers $1$ .
Contre-exemple : les jeux d'Anscombe (chapitre 10). Les quatre jeux ont le même $r \approx 0, 82$ et la même droite des moindres carrés ; l'un d'eux est un arc de parabole, un autre est déterminé par un seul point aberrant. Le coefficient $r$ ne remplace pas le tracé du nuage.
Contre-exemple : la fonction du chapitre 4 définie sur $] - \infty; 0 [\cup] 0; + \infty [$ qui vaut $- 1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite. Sa dérivée est nulle partout où elle est définie, et pourtant elle prend deux valeurs. Le théorème exige un intervalle.

Dans les quatre cas, un seul objet a suffi. C'est la dissymétrie fondamentale : réfuter demande un exemple, démontrer demande une preuve.