Deux cultures bactériennes — exercice corrigé de maths complémentaires terminale (chapitre 3)

Deux cultures bactériennes

La fonction logarithme népérien · niveau 1 (application)

Énoncé

Deux cultures bactériennes.

Deux cultures sont mises en incubation à l'instant $t = 0$ ( $t$ en heures) :

$N_{A} (t) = 200 e^{0, 35 t}, N_{B} (t) = 5000 e^{0, 12 t} .$

$N_{A} (0) = 200$ et $N_{B} (0) = 5000$ : B part avec $25$ fois plus de bactéries. À $t = 10$ : $N_{A} (10) = 200 e^{3, 5} \approx 6600$ et $N_{B} (10) = 5000 e^{1, 2} \approx 16600$ : B mène toujours.
Domaine d'étude : on travaille sur $[0; + \infty [$ . Résolution : les deux exponentielles étant strictement positives, on peut diviser :

$200 e^{0, 35 t} = 5000 e^{0, 12 t} ⟺ e^{0, 35 t - 0, 12 t} = 25 ⟺ e^{0, 23 t} = 25.$

En prenant le logarithme des deux membres : $0, 23 t = ln 25$ , donc

$t = \frac{ln 25}{0 , 23} = \frac{2 ln 5}{0 , 23} \approx \frac{3 , 219}{0 , 23} \approx 14, 0 h .$

Vérification : $14, 0 > 0$ , la solution appartient bien au domaine.

$N_{A} (14, 0) = 200 e^{0, 35 \times 13, 995} \approx 2, 68 \times 1 0^{4}$ , soit environ $26800$ bactéries — et $N_{B}$ donne évidemment la même valeur.
Après $14$ heures, $N_{A}$ dépasse $N_{B}$ et l'écart se creuse sans retour : le taux de croissance l'emporte toujours sur l'avance initiale, quelle qu'elle soit. Il suffit d'attendre — et le logarithme dit exactement combien.