L'allométrie, ou comment redresser une loi puissance

La fonction logarithme népérien · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'allométrie, ou comment redresser une loi puissance.

Le métabolisme de repos $B$ d'un mammifère (en watts) et sa masse $m$ (en kilogrammes) sont liés par une loi puissance $B = a m^{b}$ , où $a$ et $b$ sont deux constantes positives. Deux mesures sont disponibles :

$souris : m = 0, 020 kg, B = 0, 18 W; vache : m = 500 kg, B = 360 W .$

Montrer que $ln B = ln a + b ln m$ . Quel est l'intérêt de cette écriture ?
En déduire $b$ , puis $a$ .
Prédire le métabolisme de repos d'un adulte de $70$ kg.
Si la masse double, par combien le métabolisme est-il multiplié ? Et le métabolisme par kilogramme ?

Corrigé

Domaine d'étude : $m > 0$ et $B > 0$ , les logarithmes existent. Résolution : d'après $ln (uv) = ln u + ln v$ puis $ln (m^{b}) = b ln m$ — relation démontrée dans le cours pour un exposant entier, et que l'on admet ici pour un exposant réel :

$ln B = ln (a m^{b}) = ln a + b ln m .$

Intérêt : dans les variables $X = ln m$ et $Y = ln B$ , la relation devient affine : $Y = b X + ln a$ . Une loi puissance, courbe dans le plan $(m; B)$ , devient une droite dans le plan $(ln m; ln B)$ — c'est le changement de variable qui ramène un ajustement quelconque à un ajustement affine.

Résolution : en écrivant la relation pour les deux mesures et en soustrayant, $ln a$ disparaît :

$b = \frac{ln 360 - ln 0 , 18}{ln 500 - ln 0 , 020} = \frac{ln 2 000}{ln 25 000} \approx \frac{7 , 601}{10 , 127} \approx 0, 751.$

On reconnaît $b \approx \frac{3}{4}$ : c'est la loi de Kleiber. Ensuite $ln a = ln 0, 18 - b ln 0, 020 \approx - 1, 715 + 2, 937 = 1, 222$ , donc $a = e^{1, 222} \approx 3, 39$ .

$B (70) = 3, 39 \times 7 0^{0, 75} \approx 3, 39 \times 24, 2 \approx 82$ W. Un adulte au repos dissipe autant qu'une ampoule d'antan.
$\frac{B ( 2 m )}{B ( m )} = 2^{b} \approx 2^{0, 75} \approx 1, 68$ : le métabolisme augmente de $68 %$ , pas de $100 %$ . Rapporté au kilogramme, il est multiplié par $2^{b - 1} = 2^{- 0, 25} \approx 0, 84$ : il baisse de $16 %$ .

Les gros animaux brûlent moins par kilogramme que les petits : voilà pourquoi une musaraigne doit manger presque sans arrêt, et pas un éléphant.