Le logit d'une proportion

• Domaine d'étude : il faut $\frac{p}{1-p}>0$. Le numérateur $p$ est positif pour $p>0$ ; le dénominateur $1-p$ est positif pour $p<1$ et s'annule en $1$ (valeur interdite). Le quotient est donc strictement positif exactement entre $0$ et $1$ :

$$D_L=\left]0;1\right[.$$

Ce domaine est celui-là même des proportions : rien n'est perdu.

• $L(0,5)=\ln 1=0$ ;  $L(0,8)=\ln \left(\frac{0,8}{0,2}\right)=\ln 4\approx 1,386$ ;  $L(0,2)=\ln \left(\frac{1}{4}\right)=-\ln 4\approx -1,386$.
• Résolution : pour $p\in \left]0;1\right[$, $1-p$ est aussi dans $\left]0;1\right[$ et

$$L(1-p)=\ln \left(\frac{1-p}{p}\right)=\ln \left(\frac{1}{\frac{p}{1-p}}\right)=-\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)=-L(p),$$

en vertu de $\ln \left(\frac{1}{a}\right)=-\ln a$. Le logit est donc symétrique par rapport au point $(0,5;0)$ : échanger « pour » et « contre » change le signe, et rien d'autre.

• Résolution : $L(p)=1⟺\frac{p}{1-p}=e⟺p=e(1-p)⟺p(1+e)=e$, d'où

$$p=\frac{e}{1+e}\approx 0,731.$$

Vérification : $0<0,731<1$, la solution appartient à $D_L$.

• Résolution : sur $D_L$, $1-p>0$, donc les deux membres sont bien des logarithmes de nombres strictement positifs. Par stricte croissance de $\ln$ :

$$\ln \left(\frac{p}{1-p}\right)=\ln (1-p)⟺\frac{p}{1-p}=1-p⟺p=(1-p{)}^2⟺p^2-3p+1=0.$$

Le discriminant vaut $\Delta =9-4=5>0$, d'où $p_1=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,382$ et $p_2=\frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2,618$. Vérification : $p_2\notin D_L$ — une proportion supérieure à $1$ n'a aucun sens, et surtout $\ln (1-p_2)$ n'existe pas. On la rejette. L'ensemble des solutions est $S=\left\{\frac{3-\sqrt{5}}{2}\right\}$.

Le logit étale l'intervalle $\left]0;1\right[$ sur $\mathbb{R}$ tout entier : c'est ce qui permet d'ajuster une droite à une probabilité, et c'est le cœur de la régression logistique, omniprésente en épidémiologie et en sciences sociales.