Le pH, une échelle logarithmique

Exercice de TD · niveau 2 · mathématiques complémentaires (terminale), chapitre 3 — La fonction logarithme népérien

Énoncé

Le pH, une échelle logarithmique.

La concentration $c$ en ions $H_{3} O^{+}$ d'une solution, exprimée en mol/L, est résumée par son pH :

$pH = - \frac{ln c}{ln 10} .$

Vérifier que $c = 1 0^{- 2}$ mol/L donne bien $pH = 2$ .
Exprimer $c$ en fonction du pH, puis calculer $c$ pour le sang, dont le pH vaut $7, 40$ .
Une acidose fait chuter le pH du sang de $7, 40$ à $7, 20$ . De quel pourcentage la concentration en ions $H_{3} O^{+}$ a-t-elle augmenté ?
Montrer que perdre une unité de pH multiplie $c$ par $10$ .

Corrigé

Domaine d'étude : le pH n'a de sens que pour $c > 0$ , ce qui est le domaine de $ln$ . Ici, $ln (1 0^{- 2}) = - 2 ln 10$ d'après $ln (a^{n}) = n ln a$ , donc $pH = - \frac{- 2 ln 10}{ln 10} = 2$ .
Résolution : $pH = - \frac{ln c}{ln 10}$ équivaut à $ln c = - pH \times ln 10$ , donc, en passant à l'exponentielle,

$c = e^{- pH \times l n 10} .$

Pour $pH = 7, 40$ : $c = e^{- 7, 40 \times 2, 3026} = e^{- 17, 039} \approx 3, 98 \times 1 0^{- 8}$ mol/L.

Résolution : notons $c_{1}$ et $c_{2}$ les concentrations aux pH $7, 40$ et $7, 20$ . Alors

$ln c_{2} - ln c_{1} = (- 7, 20 + 7, 40) ln 10 = 0, 20 ln 10, soit \frac{c _{2}}{c _{1}} = e^{0, 20 l n 10} \approx 1, 585.$

La concentration a augmenté d'environ $58, 5 %$ .

Résolution : le même calcul avec un écart de $1$ donne $\frac{c _{2}}{c _{1}} = e^{l n 10} = 10$ .

Deux dixièmes de pH, qui semblent négligeables, cachent une hausse de près de $60 %$ : c'est précisément ce que fait une échelle logarithmique — elle comprime les rapports en écarts, et il faut savoir la décomprimer.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.