Les rendements décroissants d'un engrais

• Domaine d'étude : pour $x\ge 0$, $1+0,02x\ge 1>0$, donc $P$ est bien définie. On lit, avec $\ln (a^n)=n\ln a$ quand c'est commode :

$$P(50)=40\ln 2\approx 27,7,P(150)=40\ln 4=80\ln 2\approx 55,5,P(200)=40\ln 5\approx 64,4.$$

• $P$ est de la forme $x\mapsto 40f(ax+b)$ avec $f=\ln$, $a=0,02$ et $b=1$, dont la dérivée est $40a{f}^{\prime }(ax+b)$ :

$$P^{\prime }(x)=40\times 0,02\times \frac{1}{1+0,02x}=\frac{0,8}{1+0,02x}.$$

D'où $P^{\prime }(50)=0,4$ ; $P^{\prime }(150)=0,2$ ; $P^{\prime }(200)=0,16$. Le $51^{\text{e}}$ kilogramme d'azote rapporte $0,4$ quintal, le $201^{\text{e}}$ n'en rapporte plus que $0,16$ : c'est la loi des rendements décroissants, et elle est ici la simple traduction de ${\ln }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$, une pente qui s'effondre.

• Résolution :

$$40\ln (1+0,02x)=60⟺\ln (1+0,02x)=1,5⟺1+0,02x=e^{1,5},$$

d'où $x=50\left(e^{1,5}-1\right)\approx 50\times 3,482\approx 174$ kg/ha. Vérification : $174\ge 0$, la dose est acceptable.

• Posons $X=1+0,02x$, c'est-à-dire $x=50(X-1)$. Quand $x\to +\infty$, $X\to +\infty$, et

$$\frac{P(x)}{x}=\frac{40\ln X}{50(X-1)}=\frac{4}{5}\times \frac{\ln X}{X}\times \frac{X}{X-1}.$$

D'après la croissance comparée du cours (résultat admis), $\frac{\ln X}{X}\to 0$ ; et $\frac{X}{X-1}\to 1$. Par produit (les opérations sur les limites sont elles aussi admises), $\frac{P(x)}{x}\to 0$.

Le gain moyen par kilogramme d'engrais tend vers zéro : au-delà d'une certaine dose, l'azote ne paie plus — et il finit dans les nappes phréatiques.