Problème — Intérêts composés, capitalisation continue, pouvoir d'achat

• Résolution : $(1,04{)}^n\ge 2⟺n\ln 1,04\ge \ln 2$, et $\ln 1,04>0$, donc

$$n\ge \frac{\ln 2}{\ln 1,04}\approx \frac{0,6931}{0,03922}\approx 17,67,$$

d'où $n=18$ ans. Vérification : $1,04^{17}\approx 1,948$ et $1,04^{18}\approx 2,026$. La règle des $70$ annonce $70/4=17,5$ : c'est une très bonne estimation de tête.

• Le taux effectif $T$ vérifie $1+T={\left(1+\frac{0,06}{N}\right)}^N$ :

$$N=4:T\approx 6,136\%;N=12:T\approx 6,168\%;N=365:T\approx 6,183\%.$$

Plus on capitalise souvent, plus le taux effectif dépasse le taux nominal — mais de moins en moins.

• Résolution : prenons le logarithme, ce qui fait descendre l'exposant :

$$\ln \left[{\left(1+\frac{0,06}{N}\right)}^N\right]=N\ln \left(1+\frac{0,06}{N}\right)=0,06\times \frac{\ln (1+h)}{h},\text{ouˋ }h=\frac{0,06}{N}.$$

Quand $N$ grandit, $h$ se rapproche de $0$ ; or $\frac{\ln (1+h)}{h}$ n'est autre que le taux d'accroissement de $\ln$ entre $1$ et $1+h$, qui se rapproche du nombre dérivé ${\ln }^{\prime }(1)=1$. Le logarithme du placement tend donc vers $0,06$, et le placement lui-même vers $e^{0,06}\approx 1,06184$ : le taux effectif en capitalisation continue vaut environ $6,18\%$, et il ne peut pas être dépassé.

• Résolution : $e^r=1,06⟺r=\ln 1,06\approx 0,0583$, soit $5,83\%$. Le taux continu équivalent est toujours inférieur au taux effectif — c'est encore $\ln (1+t)<t$.
• Résolution : le pouvoir d'achat est multiplié chaque année par $\frac{1,04}{1,02}$. Doubler exige

$$n\ge \frac{\ln 2}{\ln \left(\frac{1,04}{1,02}\right)}=\frac{\ln 2}{\ln 1,04-\ln 1,02}\approx \frac{0,6931}{0,03922-0,01980}=\frac{0,6931}{0,01942}\approx 35,70,$$

grâce à $\ln \left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b$. Il faut donc $36$ ans, contre $18$ en euros courants : deux points d'inflation doublent le temps d'attente.

from math import log, ceil

def annees_pour_doubler(taux):
    # Nombre entier d'annees necessaires pour doubler un capital
    # place au taux annuel `taux` (0.04 pour 4 %), interets composes.
    return ceil(log(2) / log(1 + taux))

def regle_des_70(taux):
    return 70 / (100 * taux)

for t in (0.02, 0.035, 0.04, 0.07):
    print(t, annees_pour_doubler(t), round(regle_des_70(t), 1))
# 0.02   36  35.0     -> exact 35,003 : la regle passe d'un cheveu
# 0.035  21  20.0
# 0.04   18  17.5
# 0.07   11  10.0     -> la regle se degrade quand le taux grandit

Le logarithme aura servi ici à une seule chose, toujours la même : faire descendre l'exposant. Que l'exposant soit un nombre d'années, un nombre de prises, un âge en millénaires ou une magnitude, la manœuvre est identique — et c'est bien pour cela que Napier l'a inventée.