Problème — La datation au carbone 14

• Résolution : $e^{-\lambda T}=\frac{1}{2}$ équivaut à $-\lambda T=\ln \left(\frac{1}{2}\right)=-\ln 2$, donc

$$T=\frac{\ln 2}{\lambda }\approx \frac{0,6931}{1,21\times 10^{-4}}\approx 5728\text{ans}.$$

On retient $5730$ ans.

• Domaine d'étude : $f$ est une fraction issue d'une mesure, donc $0<f\le 1$ — et c'est exactement ce qu'exige $\ln f$. Résolution : $f=e^{-\lambda t}$ équivaut à $\ln f=-\lambda t$, d'où

$$t=-\frac{\ln f}{\lambda }.$$

Comme $f\le 1$, $\ln f\le 0$ et $t\ge 0$ : rassurant.

• $t=-\frac{\ln 0,128}{1,21\times 10^{-4}}\approx \frac{2,0557}{1,21\times 10^{-4}}\approx 16989$ : environ $17000$ ans.
• $t=-\frac{\ln 0,35}{1,21\times 10^{-4}}\approx \frac{1,0498}{1,21\times 10^{-4}}\approx 8676$ : environ $8700$ ans.
• Résolution : si la mesure vaut $1,01f$ au lieu de $f$, l'âge calculé devient

$$-\frac{\ln (1,01f)}{\lambda }=-\frac{\ln 1,01+\ln f}{\lambda }=t-\frac{\ln 1,01}{\lambda },$$

grâce à $\ln (ab)=\ln a+\ln b$. L'écart vaut $\frac{\ln 1,01}{\lambda }\approx \frac{0,00995}{1,21\times 10^{-4}}\approx 82$ ans, et il ne dépend pas de $f$, donc pas de l'âge. Une erreur relative sur la mesure se transforme en une erreur absolue constante sur la date : c'est une propriété du logarithme, et c'est ce qui rend la méthode également fiable à $2000$ ans et à $20000$ ans.

• $t_{\max }=-\frac{\ln 0,001}{\lambda }=\frac{\ln 1000}{\lambda }\approx \frac{6,908}{1,21\times 10^{-4}}\approx 57000$ ans.

Au-delà d'environ $57000$ ans, il ne reste plus assez de carbone $14$ pour mesurer quoi que ce soit : c'est pourquoi cette méthode ne date ni les dinosaures, ni les roches — d'autres couples d'isotopes, à demi-vie bien plus longue, prennent le relais, avec exactement la même formule.