Problème — Magnitude, énergie, et deux échelles

La fonction logarithme népérien · niveau 1 (application)

Énoncé

Problème — Magnitude, énergie, et deux échelles.

On reprend la magnitude de moment $M = \frac{2}{3} \frac{ln E - ln E _{0}}{ln 10}$ , avec $E_{0} = 1 0^{4, 8}$ J, soit $E = E_{0} \times 1 0^{1, 5 M}$ .

Calculer l'énergie libérée par un séisme de magnitude $4$ , de magnitude $6$ , puis de magnitude $9, 1$ .
La bombe d'Hiroshima a libéré environ $6, 3 \times 1 0^{13}$ J. À quelle magnitude cela correspond-il ?
Combien de séismes de magnitude $6$ faudrait-il pour égaler celui de Tôhoku ( $M = 9, 1$ ) ?
Un journaliste écrit : « le séisme de magnitude $9, 1$ était un peu plus fort que celui de magnitude $8, 5$ ». Commenter.
Pourquoi les sismologues ont-ils choisi une échelle logarithmique ?

Corrigé

$E (4) = 1 0^{4, 8 + 6} = 1 0^{10, 8} \approx 6, 3 \times 1 0^{10}$ J ; $E (6) = 1 0^{13, 8} \approx 6, 3 \times 1 0^{13}$ J ; $E (9, 1) = 1 0^{18, 45} \approx 2, 8 \times 1 0^{18}$ J.
Résolution : on applique la formule directement, en utilisant $ln E - ln E_{0} = ln (\frac{E}{E _{0}})$ :

$M = \frac{2}{3} \times \frac{1}{ln 10} ln (\frac{6 , 3 \times 1 0 ^{13}}{1 0 ^{4, 8}}) = \frac{2}{3} \times \frac{ln ( 6 , 3 \times 1 0 ^{13} ) - 4 , 8 ln 10}{ln 10} \approx \frac{2}{3} \times 9, 00 = 6, 00.$

Une bombe d'Hiroshima, c'est un séisme de magnitude $6$ — ce qui donne enfin une idée concrète du bas de l'échelle.

$\frac{E ( 9 , 1 )}{E ( 6 )} = 1 0^{1, 5 \times 3, 1} = 1 0^{4, 65} \approx 4, 5 \times 1 0^{4}$ : il en faudrait environ $45000$ .
$\frac{E ( 9 , 1 )}{E ( 8 , 5 )} = 1 0^{1, 5 \times 0, 6} = 1 0^{0, 9} \approx 7, 9$ . Le séisme de Tôhoku a libéré près de huit fois plus d'énergie : « un peu plus fort » est un contresens. Sur une échelle logarithmique, un petit écart de valeurs cache toujours un grand rapport de grandeurs.
Parce que les énergies en jeu s'étalent sur plus de huit puissances de dix. Une échelle linéaire écraserait tous les séismes courants sur le zéro (voir la figure). Le logarithme transforme les rapports en écarts — c'est l'équation fonctionnelle $ln (ab) = ln a + ln b$ mise au service de la lisibilité.